Đạo hàm nâng cao là kiến thức khá khó dành cho học sinh lớp 11 tham gia các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi cấp tỉnh, quốc gia và thậm chí có trong kỳ thi THPT, đại học. Vậy nên, để giúp học sinh làm tốt bài tập này hãy cùng Wikihoc tìm hiểu công thức đạo hàm nâng cao và cách giải chi tiết trong bài viết sau đây nhé.
Đạo hàm nâng cao là gì?
Trong chương trình đại số lớp 11, các em sẽ được làm quen và học các kiến thức về đạo hàm nâng cao. Thực chất, đây là một kiến thức nâng cao hơn của các dạng toán đạo hàm cơ bản.
Nếu đạo hàm cơ bản là một hàm số mô tả sự biến thiên của chúng tại một điểm nào đó, cùng với tích phân để tạo thành một phép toán ngược lại thường ở cấp 1.
Còn với đạo hàm nâng cao hay còn gọi là đạo hàm cấp cao, thường thiên về việc tính đạo hàm của một hàm số cấp 2, cấp 3 cho đến cấp n.
Định nghĩa chi tiết:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x)
Đạo hàm của hàm số f'(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y” hay f”(x).
Đạo hàm của hàm số f”(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu là y”’ hay f”'(x).
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), kí hiệu là y(n) hay f(n)(x).
f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′, với n thuộc Z và n >= 2
Công thức đạo hàm nâng cao 11 chi tiết
Để có thể giải được các bài toán về đạo hàm cấp cao này, đòi hỏi các em học sinh phải ghi nhớ, học thuộc và nắm vững công thức tính chi tiết sau đây:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n-1 kí hiệu f (n-1) (x) (n ∈ N, n ≥ 4).
Nếu f (n-1) (x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của y = f(x), y(n) hoặc f(n) (x).
f (n) (x) = [f (n-1)(x)]’
Công thức đạo hàm cấp cao:
- (x m) (n) = m(m – 1)(m – 2)…(m – n + 1).xm – n (nếu m ≥ n)
- (x m) (n) = 0 (nếu m ≤ n)
- (lnx)(n) = (−1)n−1(n−1)! / xn .
- (ax)(n) = ax.lnna, với a > 0.
- (sinx)(n) = sin(x+n.π/2).
- (cosx)(n) = cos(x+n.π/2).
- (ex)(n)=ex.
- (1/x)(n)=(−1)n.n!.x−n−1.
Các dạng toán đạo hàm nâng cao và phương pháp giải
Ngoài việc học thuộc và ghi nhớ định nghĩa, công thức khi học đạo hàm nâng cao 11 là chưa đủ. Bên cạnh đó, các em cần phải nhận biết được các dạng bài tập liên quan để có thể biết cách áp dụng công thức nào để tính toán sao cho phù hợp.
Vậy nên, dưới đây là một số dạng toán đạo hàm với kiến thức nâng cao để mọi người có thể tham khảo:
Dạng 1: Tìm số gia
Dạng 2: Tính đạo hàm nâng cao
Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm số tại x0
Dạng 4: Đạo hàm của hàm lượng giác nâng cao
Dạng 5: Đạo hàm kép nâng cao
Kiểu 1. Tính đạo hàm của hàm số f(x) bằng f1(x) khi x khác x0 và bằng f2(x) khi x = x0.
Kiểu 2. Tính đạo hàm của hàm số f(x) bằng f1(x) khi x ≥ x0 và bằng f2(x) khi x < x0.
Dạng 6: Giải phương trình đạo hàm nâng cao
Kiểu 1. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn dạng 0/0; vô cùng / vô cùng: Quy tắc LÔPITAN.
Kiểu 2. Sử dụng đạo hàm trong bài toán giải phương trình và bất phương trình.
Kiểu 3. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức.
Ở kiểu đạo hàm nâng cao này sẽ phải ứng dụng những công thức để tiến hành tìm kiếm đạo hàm, rồi mới tiến hành thay vào biểu thức để biến đổi và tìm ra kết quả.
Dạng 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Trong dạng này sẽ chia thành 3 kiểu bài tập thường gặp như:
Kiểu 1. Phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm M(x0;y0).
Kiểu 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k.
Kiểu 3. Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1).
Bài tập toán đạo hàm nâng cao 11 tự luyện
Với những thông tin trên có thể thấy được các dạng toán khi học đạo hàm cấp cao khá nhiều. Chính vì vậy, để có thể chinh phục được chúng chỉ còn cách là luyện tập và làm bài tập về chúng thường xuyên.
Vậy nên, dưới đây là một số bài tập liên quan tới các dạng toán trên để các em có thể luyện tập thêm nhé:
Xem thêm: Gợi ý công thức đạo hàm nhanh giúp tính toán nhanh chóng, dễ dàng và chính xác nhất
Kết luận
Trên đây là tổng hợp những kiến thức giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm nâng cao. Qua đó có thể thấy đây là dạng toán không hề dễ, nên mọi người cần nắm rõ công thức, các dạng toán và luyện tập thường xuyên để chinh phục chúng tốt hơn nhé.
