Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tập Ôn tập Hình học lớp 9

  • Wikihoc.com
Bạn đang xem bài viết ✅ Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tập Ôn tập Hình học lớp 9 ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là tài liệu cực kì hữu ích mà Wikihoc.com giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 9 tham khảo. Tài liệu bao gồm 15 trang tổng hợp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án kèm theo.

Thông qua tài liệu tâm đường tròn nội tiếp tam giác các bạn có thêm nhiều tài liệu tự học, tự làm bài, tự chấm điểm, tự rút ra lỗi sai để học tốt môn Toán, đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi sắp tới. Hy vọng qua tài liệu này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về cách dùng cũng như các cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

1. Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là khi ba cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm hoàn toàn bên trong tam giác.

2. Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Để xác định được không chỉ tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông mà còn tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều nữa thì ta cần ghi nhớ lý thuyết.

Với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác, hoặc có thể là hai đường phân giác.

– Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C

+ Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác

+ Bước 2 : Tính tỉ số k_{1} = frac{AB}{AC}, k_{2} = frac{BA}{BC}, k_{3}=frac{CA}{CB}

+ Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F

+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE

+ Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE

– Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau:

left{begin{matrix} x_{I} = frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB}\ y_{I} = frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} end{matrix}right.

3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Tam giác ABC có độ dài lần lượt là a, b, c ứng với ba cạnh BC. AC, AB.

– Nửa chu vi tam giác

p = dfrac {a+b+c} {2}

– Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

r = dfrac {2S}{a+b+c} =sqrt{dfrac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}

4. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

– Nhắc lại:

+ Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R: {left( {x - a} right)^2} + {left( {y - b} right)^2} = {R^2}

+ Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng left{ {begin{array}{*{20}{c}} {left( {{d_1}} right):ax + by + c = 0} \ {left( {{d_2}} right):a'x + b'y + c' = 0} end{array}} right. là:

frac{{ax + by + c}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = pm frac{{a'x + b'y + c'}}{{sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}

Cho tam giác ABC có A(x_{A};y_{A}), B(x_{B}; y_{B}), C(x_{C}; y_{C})

– Cách 1:

+ Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B

+ Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên

+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính

+ Viết phương trình đường tròn

– Cách 2:

+ Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A

+ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A

+ Gọi I là tâm đường tròn, tọa độ I thỏa mãn hệ thức underset{ID}{rightarrow}=- frac{BD}{BA}underset{IA}{rightarrow}

+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác

Tham khảo thêm:   Lời bài hát Nhà vệ "Xinh"

+ Viết phương trình đường tròn

5. Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác

Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC .

Giải:

Ta có AB = 5sqrt{5}, AC=3sqrt{5} BC=4sqrt{5}

Do đó:

left{begin{matrix} x_{I} = frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} = frac{4sqrt{5}.1 + 3sqrt{5}.(-4)+5sqrt{5}.4}{4sqrt{5}+3sqrt{5}+5sqrt{5}} = 1\ y_{I} = frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} = frac{4sqrt{5}.5 + 3sqrt{5}.(-5)+5sqrt{5}.(-1)}{4sqrt{5}+3sqrt{5}+5sqrt{5}}=0end{matrix}right.

Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)

Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

Ta có, AB=5sqrt{5} , AC= 3sqrt{5}, BC= 4sqrt{5}

p=frac{AB+AC+BC}{2} = frac{5sqrt{5} + 3sqrt{5} + 4sqrt{5}}{2} = 6sqrt{5}

Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

r = sqrt{frac{(p – a)(p – b)(p – c)}{p}} = sqrt{frac{(6sqrt{5} – 5sqrt{5})(6sqrt{5}-3sqrt{5})(6sqrt{5}-4sqrt{5})}{6sqrt{5}}} = sqrt{5}

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y+55=0

Phương trình đường phân giác góc A: 7x+y-70=0

Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ:

left{begin{matrix} 7x+y-70=0\ 7x-24y+55=0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x=frac{65}{7}\ y=5 end{matrix}right. Rightarrow Dleft ( frac{65}{7}; 5 right )

Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ta có:

underset{IA}{rightarrow} = (11-a;-7-b), underset{ID}{rightarrow} = (frac{65}{7}-a; 5-b), BA = 20, BD= frac{100}{7}

underset{ID}{rightarrow} = -frac{BD}{BA}underset{IA}{rightarrow} Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{65}{7}-a = -frac{5}{7}(11-a)\ 5-b = -frac{5}{7}(-7-b) end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} a=10\ b=0 end{matrix}right.

Vậy tọa độ I(10,0)

Bán kính đường tròn nội tiếp: r=d(I,AB)=5

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC:(x-10)^2+y^2=25

Ví dụ 2: Trong tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng?

Hướng dẫn

– Chu vi tam giác ABC: p = 9.

– Bán kính: r = dfrac {2sqrt{3}} {3}

Ví dụ 3: Cho ba điểm có tọa độ như sau: A(-2; 3); B(dfrac {1}{4}; 0); C(2; 0) nằm trong mặt phẳng Oxy. Hãy tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

6. Bài tập vận dụng đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).

Vẽ hình minh họa

a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).

c) Vẽ OH ⊥ BC.

⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC

Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)

⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ OH = 1/2 BC=BH

Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm)

Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.

Bài 2

a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.

b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).

GIẢI

Vẽ hình

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .

+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.

Tham khảo thêm:   Tổng hợp bộ ký tự đặc biệt icon Facebook đầy đủ nhất

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.

b) Gọi A’;B’;C’ lần lượt là trung điểm của BC;AC;AB.

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác AA’;BB’;CC’ của tam giác đều ABC).

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.

Hai đường trung trực cắt nhau tại O.

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R=OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính AA’:

GIẢI

Xét tam giác AA’C vuông tại A’ có AC=3;A'C=dfrac{3}{2}, theo định lý Pytago ta có AC^2=AA'^2+A'C^2Rightarrow AA'^2=3^2-dfrac {3^2}{4}=dfrac {9}{4} Rightarrow AA'=dfrac {3sqrt {3}}{2}

Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên OA=dfrac{2}3AA'

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R= OA = dfrac{2}{3}AA' = dfrac{2}{3}. dfrac{3sqrt{3}}{2} = sqrt3 (cm).

c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.

Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’, B’, C’ của các cạnh.

Hay đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính r=OA’ = OB’ = OC’.

Ta có: r = OA' =dfrac{1}{3} AA' =dfrac{1}{3}.dfrac{3sqrt{3}}{2} =dfrac{sqrt{3}}{2} (cm).

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).

Bài 3

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung overparen{AB}, overparen{BC}, overparen{CD} sao cho: sđoverparen{AB}=60^0, sđoverparen{BC}=90^0, sđoverparen{CD}=120^0

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

GIẢI

a) Xét đường tròn (O) ta có:

displaystyle widehat {BA{rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} over 2} = {105^0} (góc nội tiếp chắn overparen{BCD})(1)

displaystyle widehat {A{rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} over 2} = {75^0} ( góc nội tiếp chắn overparen{ABC} ) (2)

Từ (1) và (2) có:

widehat {BA{rm{D}}} + widehat {A{rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0} (3)

widehat {BA{rm{D}}} và widehat {A{rm{D}}C} là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.

Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD và sđoverparen{BC}=sđoverparen{AD}=90^0)

b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.

widehat {CI{rm{D}}} là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

displaystyle widehat {CI{rm{D}}} =dfrac{sđoverparen{AB}+sđoverparen{CD}}{2}=displaystyle {{{{60}^0} + {{120}^0}} over 2} = {90^0}

Vậy AC bot BD.

c) Vì sđoverparen{AB}= 60^0 nên widehat {AOB} = {60^0} (góc ở tâm)

=> ∆AOB đều, nên AB = OA = OB = R.

Vì sđ overparen{BC} = {90^0} Rightarrow widehat {BOC} = {90^0} (góc ở tâm)

Rightarrow BC = sqrt{OB^2+OC^2}=Rsqrt2.

Kẻ OH bot CD.

Tứ giác ABCD là hình thang cân Rightarrow widehat{BCD}=widehat{ADC}=75^0.

Lại có Delta BOC vuông cân tại O Rightarrow widehat{BCO}=45^0.

Rightarrow widehat{OCD}=widehat{BCD}-widehat{BCO}=75^0-45^0=30^0.

Xét Delta OCH vuông tại H ta có:

HC=OC.cos widehat{OCH}=dfrac{Rsqrt{3}}{2}.

Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

Rightarrow CD=2.CH=Rsqrt3.

Bài 4

Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.

GIẢI

Vẽ hình:

+) Hình a.

Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung overparen{{A_1}{A_2}}, overparen{{A_2}{A_3}},...,overparen{{A_6}{A_1}} mà dây căng cung có độ dài bằng R. Nối {A_1} với {A_2}, {A_2} với {A_3},…, {A_6} với A 1 ta được hình lục giác đều {A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6} nội tiếp đường tròn

Tính bán kính:

Gọi {a_i} là cạnh của đa giác đều có i cạnh.

{a_6}= R (vì O{A_1}{A_2} là tam giác đều)

+) Hình b.

Cách vẽ:

+ Vẽ đường kính A_1A_3 của đường tròn tâm O.

+ Vẽ đường kính A_2A_4 ⊥A_1A_3

Tứ giác A_1A_2A_3A_4 có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông.

Nối A_1 với A_2;A_2 với A_3;A_3 với A_4;A4 với A1 ta được hình vuông A_1A_2A_3A_4 nội tiếp đường tròn (O).

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là a.

Tham khảo thêm:   Roblox: Tổng hợp giftcode và cách nhập code Bicep Simulator

Vì hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau nên xét tam giác vuông O{A_1}{A_2} có

{a^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} Rightarrow a = Rsqrt 2

+) Hình c:

Cách vẽ như câu a) hình a.

Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác {A_1}{A_3}{A_5} như trên hình c.

Tính bán kính:

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a.

{A_1}H =A_1O+OH= R+dfrac{R}{2} = dfrac{3R}{2}

{A_3}H = dfrac{AA'}{2}=dfrac{a}{2}

{A_1}{A_3}=a

Trong tam giác vuông {A_1}H{A_3} ta có: {A_1}{H^2} = {A_1}{A_3}^2 - {A_3}{H^2}.

Từ đó dfrac{9R^{2}}{4} = a^2 - dfrac{a^{2}}{4}.

Rightarrow{a^2} = 3{R^2} Rightarrow a = Rsqrt 3

Bài tập 5: Cho tam giác MNP biết MN = 8cm, MP = 9cm, NP = 11cm. Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?

Giải

Nửa chu vi tam giác MNP là:

p=frac{a+b+c}{2}=frac{8+9+11}{2}=14

Theo hê – rông, diện tích tam giác MNP Ià:

S=sqrt{p(p-M N)(p-M P)(p-N P)}

begin{aligned} &=sqrt{14(14-8)(14-9)(14-11)} \ &=6 sqrt{35} end{aligned}

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP là:

r=frac{S}{p}=frac{6 sqrt{35}}{14}

Bài 5: 

Cho tam giác MNP đều cạnh 2a, Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?

Lời giải

Diện tích tam giác đều MNP là:

S = ½ MN.MP.sinM

= ½ .2a.2a.sin60o

= a2√3

Nửa chu vi tam giác MNP là:

p=frac{2 a+2 a+2 a}{2}=3 a

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP là:

r=frac{S}{p}=frac{a^{2} sqrt{3}}{3 a}=frac{a sqrt{3}}{3}=frac{a}{sqrt{3}}

Bài 6

Cho tam giác ABC biết AB = 12cm, AC = 13cm, CD = 15cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Lời giải

Nửa chu vi tam giác ABC là:

p=frac{A B+A C+B C}{2}=frac{12+13+15}{2}=20

Diện tích tam giác ABC là:

S=sqrt{20(20-12)(20-13)(20-15)}=20 sqrt{14}

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A B C là:

r=frac{S}{p}=frac{20 sqrt{14}}{20}=sqrt{14}

Bài 7

Cho △ABC với đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh nếu AB < AC thì BE< CD.

Giải

Vẽ hình minh họa:

Vì AB < AC, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AB = AF

⇒ △ABF cân tại A. Mà AD = AE ⇒ BD = FE ⇒ Tứ giác BDEF là hình thang cân

⇒ BE = FD.

Xét △ABF cân tại A, có ∠AFB là góc ở đáy nên là góc nhọn.

⇒ ∠AFD cũng là góc nhọn ⇒ ∠DFC là góc tù.

Vậy CD > FD = BE (đpcm).

7. Bài tập tự luyện tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài tập 1. Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5), B(–4;–5) và C(4;-1). Tìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC.

ĐS: J(1;0)

Bài tập 2. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(-15/2; 2), B(12; 15)và C(0; -3). Tìm tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đáp số J(-1;2)

Bài tập 3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3;–1), B(1;5) và C(6;0). Gọi A’ là chân đường cao kẻ từ A lên BC Hãy tìm A’.

ĐS: A’(5;1)

Bài tập 4: Cho tam giác MNP cân tại M ngoại tiếp đường tròn bán kính 3 cm. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của đường tròn nội tiếp tam giác cân MNP với hai cạnh MN và NP. Biết MH = 4 cm. Tính diện tích tam giác cân MNP

Bài tập 5 

Cho tam giác đều MNP. Gọi O là giao điểm của hai đường phân giác hai góc trong của tam giác đều MNP và H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP. Biết đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có bán kính bằng 2 cm. Em hãy tính độ dài các cạnh của tam giác đều MNP.

Bài tập 6 

Cho tam giác MNP. Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Biết (O) tiếp xúc với hai cạnh MN và MP lần lượt tại hai điểm H và K. Biết MH . MP = MK . MN. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác cân tại M.

Bài tập 7 

Cho tam giác MNP. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của tam giác MNP. Gọi H, K, L theo thứ tự lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP, MN, MP. Chứng minh rằng:

a) MP = MK + PH.

b) PM – PN = LM – HN.

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tập Ôn tập Hình học lớp 9 của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *