Đề thi học sinh giỏi lớp 10 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012 môn Toán – Có đáp án Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Câu 1 (4,0 điểm).

1. Giải phương trình: (x thuộc ¡)

2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x² – 2(m – 1)x – m³ + (m + 1)² = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện x¹ + x² ≤ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = x₁³ + x₂³ + x₁x₂(3x₁ + 3x₂ + 8).

Câu 2 (1,5 điểm).

Giải hệ phương trình: (x, y thuộc ¡)

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho x, y là hai số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y.

Câu 4 (3,0 điểm).

1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng và ba điểm O, H, L thẳng hàng.

2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho MAB = MBC = MCD = MDA = φ. Chứng minh đẳng thức sau: , trong đó α là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q(-1; 1) và điểm A có hoành độ dương.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.