Hình chữ nhật: Định nghĩa, tính chất và bài tập Chuyên đề Toán học lớp 8

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông và hình chữ nhật cũng là một hình bình hành và hình thang cân.

Trong bài viết dưới đây Wikihoc.com sẽ giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về hình chữ nhật như: định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và các dạng bài tập của hình chữ nhật kèm theo ví dụ minh họa. Thông qua tài liệu này giúp các bạn học sinh có thêm nhiều tư liệu ôn tập, làm quen với các dạng bài tập Toán 8. Bên cạnh đó các em lớp 8 tham khảo thêm một số tài liệu như: phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, chuyên đề phép nhân và phép chia các đa thức. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi và tải tài liệu tại đây.

1. Định nghĩa hình chữ nhật

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông (Hình 84)

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Có bốn góc A, B, C, D bằng 90 độ

Chú ý: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, hình thang cân

2. Tính chất hình chữ nhật

Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân

– Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

– Hình chữ nhật có các cạnh đối song song và bằng nhau.

3. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

– Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

– Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

– Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

– Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Áp dụng vào tam giác

1. Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

2. Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

5. Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng tích của chiều dài nhân chiều rộng nhân chiều cao của hình.

Thể tích hình hộp chữ nhật là lượng không gian mà hình chiếm, được tính bằng tích của diện tích đáy và chiều cao:

V = a x b x h

Trong đó:

• V là thể tích hình hộp chữ nhật.
• a là chiều dài hình hộp chữ nhật.
• b là chiều rộng hình hộp chữ nhật.
• h là chiều cao hình hộp chữ nhật.

6. Diện tích hình hộp chữ nhật

– Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật:

– Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật:

Trong đó:

• S là diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật
• a là chiều dài hình hộp chữ nhật.
• b là chiều rộng hình hộp chữ nhật.
• h là chiều cao hình hộp chữ nhật.

– Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật:

7. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

+ Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

+ Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

8. Ví dụ minh họa về hình chữ nhật

Ví dụ 1: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có cạch góc vuông bằng 7cm và 24 cm.

Gợi ý đáp án:

Gọi a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông.

Theo định lý Pi-ta-go ta có:

a² = 7² + 24² = 625

⇒ a = 25cm

⇒ Độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng: = = 12,5 (cm).

Ví dụ 2: 

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên hình 91. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Gợi ý đáp án:

Theo giả thiết ABCD là hình bình hành nên AD//BC, AB//CD

Vì (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Vì AG là tia phân giác (giả thiết)

(tính chất tia phân giác)

Vì BG là tia phân giác (giả thiết)

Do đó:

Xét có:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác AGB ta có:

+ Vì (hai góc trong cùng phía bù nhau)

+ Vì DE là tia phân giác (giả thiết)

(tính chất tia phân giác)

Do đó:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác ADH ta có:

Suy ra nên

Chứng minh tương tự:

Ta có: (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Mà (do CE là phân giác góc DCB)

Nên

Lại có:

(tổng ba góc trong tam giác DEC)

Hay

Từ (*), (**) và (***) ta thấy tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

9. Bài tập hình chữ nhật

A. Trắc nghiệm

Bài 1: Chọn đáp án đúng nhất trong các đáp án sau?

A. Hình chữ nhật là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

B. Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

C. Hình chữ nhật là tứ giác có hai góc vuông.

D. Các phương án trên đều không đúng.

Bài 2: Tìm câu sai trong các câu sau

A. Trong hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.

B. Trong hình chữ nhật có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

C. Trong hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

D. Trong hình chữ nhật, giao của hai đường chéo là tâm của hình chữ nhật đó

Bài 3: Các dấu hiệu nhận biết sau, dấu hiệu nào nhận biết chưa đúng?

A. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.

B. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

C. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

D. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Bài 4: Khoanh tròn vào phương án sai

A. Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền và bằng nửa cạnh huyền.

B. Trong tam giác, đường trung tuyến với với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

C. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh góc vuông không bằng cạnh ấy.

D. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì vuông góc với cạnh huyền.

Bài 5: Trong hình chữ nhật có kích thước lần lượt là 5cm và 12cm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là?

A. 17cm

B. 13cm

C. √ 119 cm

D. 12cm

B. Tự luận

Bài 1:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

Tứ giác ABCD cần điều kiện gì thì MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 2:

Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo ( không vuông góc),I và K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K.

a) Chứng minh rằng tứ giác BMND là hình bình hành.

b) Với điều kiện nào của hai đường chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật.

c) Chứng minh 3 điểm M,C,N thẳng hàng.

Bài 3:

Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là điểm đối xứng của điểm M qua B. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G.

a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b/ Nếu ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao?

Bài 4

Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là điểm đối xứng của điểm M qua B. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b) Nếu ABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

Bài 5. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

Bài 6. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Bài 8. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân.

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa AB và CD để ABPN là hình chữ nhật.

Bài 9. Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Xác định vị trí của điểm O đế tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M Î AB).

a) Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng khi P di chuyển trên cạnh AC, Q di chuyển trên cạnh BC thì điểm I di chuyển trên một đoạn thẳng cố định.

Bài 11. Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật.

b) AF song song với BD và KH song song với AC.

c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

Bài 12. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA; D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn HA, HB và HC.

a) Chứng minh rằng các tứ giác MNFD và MEFP là các hình chữ nhật.

b) Để các đoạn MD, ME và DP bằng nhau thì tam giác ABC phải là tam giác gì?