Giải Toán 9: Ôn tập Chương III: Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn Giải SGK Toán 9 Tập 2 (trang 27)

Giải hệ phương trình:

Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ trên, ta được: 2x + 5y +(-2x-5y)= 2-5

0 = – 3 (vô lý)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Minh họa hình học kết quả tìm được:

– Vẽ đồ thị hàm số 2x + 5y = 2.

Cho y = 0 ⇒ x = 1. Ta xác định được điểm A(1; 0)

Cho y = 1 ⇒ x = -1,5. Ta xác định được điểm B(-1,5; 1).

Đồ thị hàm số 2x + 5y = 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A và B

-Vẽ đồ thị hàm số

Cho x = 0 ⇒ y = 1. Ta xác định được điểm C(0; 1)

Cho y = 2 ⇒ x = -2,5. Ta xác định được điểm D(-2,5; 2)

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm C và D.

Kết luận: Đồ thị hai hàm số trên song song. Điều này chứng tỏ rằng hệ phương trình vô nghiệm.

Giải hệ phương trình:

Cộng vế với vế của hai phương trình trên, ta được

Thế x = 2 vào phương trình (2), ta được: 6 + y = 5 ⇔ y = -1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(2;-1)

Minh họa hình học:

– Đồ thị hàm số 0,2x + 0,1y = 0,3 là một đường thẳng đi qua hai điểm:

A( 0; 3) và B(1,5; 0)

– Đồ thị hàm số 3x + y = 5 là một đường thẳng đi qua hai điểm C( 0; 5) và D( 1; 2)

– Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại điểm: M( 2; -1).

Vậy (2; -1) là một nghiệm của hệ phương trình.

Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát là với x ∈ R

Minh họa hình học

– Đồ thị hàm số và đồ thị hàm số 3x – 2y = 1 cùng là một đường thẳng đi qua hai điểm và B(1;1) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Từ (1) ta có

Thế (3) vào (2), ta được:

Thế y vừa tìm được vào (3), ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

Giải hệ phương trình: (I)

Điều kiện:

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt

Thay vào hệ (I), ta có hệ mới với ẩn là u và v ta được:

Cộng (3) và (4) vế theo vế, ta được:

Thay vào (1’), ta được:

Với giá trị của vừa tìm được, ta thế vào để tìm nghiệm x, y.

Ta có:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Từ phương trình (1) ta rút ra được y = 2x – m (*)

Thay (*) vào phương trình (2) ta được:

4x – m².(2x – m) = 2√2

⇔ 4x – 2m².x + m³ = 2√2

⇔ (4 – 2m²).x = 2√2 – m³ (**)

a) Với m = -√2, phương trình (**) trở thành: 0x = 4√2

Phương trình vô nghiệm.

Vậy với m = -√2, hệ phương trình (I) vô nghiệm.

b) Với m = √2, phương trình (**) trở thành: 0x = 0

Phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R, khi đó y = 2x – √2

Vậy với m = √2, hệ (I) có vô số nghiệm dạng (x ; 2x – √2), x ∈ R

c) m = 1

Ta có (1) ⇔ y = 2x – m (3)

Thế (3) vào (2), ta có:

Với m = 1. Thế vào phương trình (*), ta được:

Thay x vừa tìm được vào (3), ta có:

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là:

Gọi vận tốc của người đi từ A là x (km/phút), vận tốc của người đi từ B là y,(km/phút) (ĐK: x;y > 0)

Nếu hai người khời hành cùng lúc thì gặp nhau tại một điểm cách A là 2km nên lúc này quãng đường người từ A đi được là 2km; quãng đường người từ B đi được là 3,6 – 2 = 1,6km.

Khi đó thời gian người từ A đi là (phút), thời gian người từ B đi là

Vì hai người khời hành cùng lúc và ngược chiều nên đến khi gặp nhau thời gian hai người đi là bằng nhau, nên ta có phương trình

Nhận thấy rằng người đi từ B đi chậm hơn người đi từ A (vì khi khởi hành cùng lúc thì quãng đường người từ B đi ít hơn người đi từ A).

Lại có nếu người đi chậm hơn (người đi từ B) xuất phát trước người đi từ A là 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường nên mỗi người đi được 1,8 km.

Thời gian hai người đi từ A và đi từ B lần lượt là: (phút)

Từ đó, ta có phương trình

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Đặt ta có hệ sau

Thay lại cách đặt ta được

Vậy vận tốc người đi từ A là 0,075 km/phút hay 4,5 km/giờ

Vận tốc người đi từ B là 0,06 km/phút hay 3,6 km/giờ.

Gọi x;y lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đã cho (ĐK: 0 < x;y < 124)

Vì vật có khối lượng 124g nên ta có phương trình x + y = 124 (1)

Biết cứ 89g đồng thì có thể tích là 10cm³nên 1g đồng có thể tích là

Suy ra x gam đồng có thể tích là

Biết cứ 7g kẽm thì có thể tích là 1cm³ nên 1g kẽm có thể tích là

Suy ra y gam kẽm có thể tích là

Vì thể tích vật đã cho là nên ta có phương trình

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy khối lượng đồng và kẽm trong vật đã cho lần lượt là 89g và 35g.

Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm một mình xong công việc trong x (ngày) và đội II làm một mình xong công việc trong y (ngày)
Điều kiện: x, y > 12

Như vậy, mỗi ngày đội I làm được công việc và đội II làm được công việc.

Hai đội cùng làm sẽ xong trong 12 ngày nên 1 ngày cả hai đội làm được công việc. Ta có phương trình:

Trong 8 ngày làm chung, cả hai đội làm được công việc. Do năng suất gấp đôi nên đội II mỗi ngày làm được công việc và làm xong phần công việc còn lại trong 3,5 ngày nên trong 3,5 ngày này đội II làm được công việc. Ta có phương trình:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đặt:

Vậy x = 28 (nhận) và y = 21 (nhận)

Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 28 ngày, đội II làm một mình xong công việc trong 21 ngày.

Gọi x (tấn) và y (tấn) lần lượt là số thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (x, y > 0 và x < 720, y < 720)

– Năm ngoái, hai đơn vị thu được 720 tấn thóc nên ta có: x + y = 720.

– Năm nay:

+ Số thóc đơn vị thứ nhất thu được: x + 15%.x = x + 0,15x = 1,15x.

+ Số thóc đơn vị thứ hai thu được là: y + 12%y = y + 0,12y = 1,12y.

Năm nay, cả hai đơn vị thu được 819 tấn thóc nên ta có: 1,15x + 1,12y = 819

Ta có hệ phương trình:

Vậy:

– Năm ngoái: đơn vị 1 thu được 420 tấn, đơn vị 2 thu được 300 tấn.

– Năm nay: đơn vị 1 thu được 1,15.420 = 483 tấn; đơn vị 2 thu được 1,12.300 = 336 tấn