Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết

Cực trị của hàm số là một trong những phần quan trọng thuộc kiến thức đại số ở cấp 3. Để giúp các bạn học sinh dễ dàng hơn trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức này. Wikihoc đã tổng hợp tất cả khái niệm và cách tìm cực trị của các dạng hàm số thường gặp ngay dưới dây.

Lý thuyết cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ điểm này sang điểm kia. 

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K.

• x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

• x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Một số lưu ý chung:

1. Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

2. Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x0.

3. Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị

Hàm số có cực trị khi nào? Để một hàm số có thể đạt cực trị tại 1 điểm thì hàm số cần thỏa mãn các yếu tố sau (bao gồm: điều kiện cần và điều kiện đủ).

Điều kiện cần

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.

Một số lưu ý chung:

1. Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.

2. Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

Điều kiện đủ

Định lý 2: Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

• Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.

• Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

• Nếu f’’(x0) = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

Hướng dẫn cách tìm cực trị của một số hàm số thường gặp

Mỗi hàm số đều có một tính chất và cách tìm cực trị khác nhau. Ngay sau đây Wikihoc sẽ giới thiệu đến bạn cách tính cực trị của hàm số thường gặp trong các đề thi nhất.

Cực trị của hàm số bậc 2

Hàm số bậc 2 có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b.

• y’ đổi dấu khi x qua x0 = -b/2a

• Hàm số đạt cực trị tại x0 = -b/2a

Cực trị của hàm số bậc 3

Hàm số bậc 3 có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 3ax2 + 2bx + c → Δ’ = b2 – 3ac.

• Δ’ ≤ 0 : y’ không đổi dấu → hàm số không có cực trị

• Δ’ > 0 : y’ đổi dấu 2 lần → hàm số có hai cực trị (1 CĐ và 1 CT)

Cách tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:

Ta có thể phân tích : y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f ‘(x).

Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 và x2

Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0

Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f ‘(x2) = 0

Kết luận: Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = Cx + D

Cực trị của hàm số bậc 4 (Hàm trùng phương)

Hàm số trùng phương có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y’ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.

• Khi -b/2a $\le$ 0 <=> b/2a $\ge$ 0 thì y’ chỉ đổi dấu 1 lần khi x đi qua x0 = 0 → Hàm số đạt cực trị tại xo = 0

• Khi -b/2a > 0 <=> b/2a < 0 thì y’ đổi dấu 3 lần → hàm số có 3 cực trị

Cực trị của hàm số lượng giác

Phương pháp tìm cực trị của hàm số lượng giác như sau:

• Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f’(x), giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.

• Bước 3: Khi đó ta tìm đạo hàm y’’. 

• Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.

Cực trị của hàm số logarit

Chúng ta cần phải thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình  y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.

• Bước 3: Xét hai khả năng:

  • Tìm đạo hàm y’’.

  • Tính y’’(x0) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 3.

• Nếu xét được dấu của y’: Khi đó: lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 2.

• Nếu không xét được dấu của y’: Khi đó:

Các dạng bài tập vận dụng thường gặp

Vì các bài toán về cực trị xuất hiện thường xuyên trong các đề thi THPT Quốc Gia hằng năm. Nắm bắt được tình hình chung, Wikihoc đã tổng hợp 3 dạng bài toán thường gặp liên quan đến cực trị của hàm số, giúp bạn có thể dễ dàng ôn luyện hơn.

Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số

Có 2 cách thức để giải dạng bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số, bạn có thể theo dõi ngay bên dưới đây.

Cách 1:

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

• Bước 3: Lập bảng biến thiên.

• Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Cách 2:

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệu xi (i=1,2,3,…)là các nghiệm của nó.

• Bước 3: Tính f”(x) và f”(xi ) .

• Bước 4: Dựa vào dấu của f”(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Ví dụ:

Tìm cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 6x^2 – 6. Cho y’= 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

Phương pháp giải:

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

• Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

• Bước 2: Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ:

Cho hàm số y = x^3 – 3mx^2 +(m^2 – 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R. Tính y’=3x^2 – 6mx + m^2 – 1; y” = 6x – 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 → 

⇔ m = 1.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số

Đối với cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Khi đó, ta có: y’ = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b^2 – 3ac.

• Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

• Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b^2 – 3ac ≤ 0

• Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

• Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b^2 – 3ac > 0

Đối với cực trị của hàm số bậc bốn

Cho hàm số: y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C). Khi đó, ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.

• (C) có một điểm cực trị y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

• (C) có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Ví dụ:

Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn giải:

Ta có: y’ = 3×2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’= 0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0.

Một số bài tập tìm cực trị của hàm số tự luyện

Đáp án của các bài tập trên lần lượt là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9D; 10B; 11C.

Trên đây là tất cả các kiến thức về cực trị của hàm số mà Wikihoc muốn chia sẻ đến bạn đọc. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp ích cho bạn phần nào việc ôn tập cho các kỳ thi sắp tới. Xin được đồng hành cùng bạn!