Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã sắp xếp lớp 8

Bạn đang xem bài viết ✅ Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã sắp xếp lớp 8 ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Chia đa thức cho đa thức là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh lớp 8 giải được các dạng bài tập Đại số. Vậy cách chia đa thức cho đa thức như thế nào? Mời các em học sinh hãy cùng Wikihoc.com theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Chia đa thức cho đa thức gồm kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận chia đa thức cho đa thức. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu Chia đa thức cho đa thức, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Mục Lục Bài Viết

I. Lý thuyết chia đa thức cho đa thức

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

Tham khảo thêm: Top 10 thương hiệu sữa rửa mặt Hàn Quốc được yêu thích

A = B . Q + R, với R = 0 hoặc R≠ 0 có bậc bé hơn bậc của B

– Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R ≠ 0, ta được phép chia có dư.

Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

$(A^{3}+B^{3}):(A+B)=A^{2}-AB+B^{2}$

$(A^{3}-B^{3}):(A-B)=A^{2}+AB+B^{2}$

$(A^{2}-B^{2}):(A+B)=A-B$

II. Ví dụ chia đa thức cho đa thức

Ví dụ 1: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

$(125x^{3} + 1) : (5x + 1)$

$(x^{2} –2xy + y^{2}) : (y – x)$

Cách dẫn giải như sau

$(125x^{3} + 1) : (5x + 1) = [(5x)^{3} + 1] : (5x + 1) =(5x)^{2}-5x+1 = 25x^{2}-5x+1$

$(x^{2}-2xy+y^{2}) : (y-x) = (x-y)^{2}: [-(x-y)] =-(x-y)=y-x$

Hoặc $(x^{2}–2xy+y^{2}):(y-x) = (y^{2}-2xy+x^{2}) : (y-x)$

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia đa thức $fleft( x right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$ cho đa thức $x + 3$ .

Lời giải:

Lưu ý rằng: nếu chia cho đa thức $x + 3$ thì $alpha = 3$ , còn nếu chia cho đa thức $x + 3$ thì $alpha = - 3$

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hoocne như sau:

Đa thức $gleft( x right)$ tìm được ở đây chính là:

$gleft( x right) = 1.{x^3} + left( { - 5} right).{x^2} + 12.x + left( { - 29} right)$ và $r = 85$

Vậy khi chia đa thức $fleft( x right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$ cho đa thức $x + 3$ ta được:

$fleft( x right) = left( {x + 3} right)left( {{x^3} - 5{x^2} + 12x - 29} right) + 85$

* Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hoocne. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng sơ đồ:

+ Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.

+ Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).

III. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và dư trong phép chia đa thức

– Phương pháp: từ điều kiện đề bài đã cho, đặt phép chia A:B được kết quả là thương Q và dư R.

Tìm điều kiện của m để đa thức A chia hết cho đa thức B

Tham khảo thêm: Kinh nghiệm du lịch Hải Tiến - bãi biển đẹp, nổi tiếng Thanh Hóa

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của n để biểu thức $4n^{3}-4n^{2}-n+4$ chia hết cho biểu thức 2n+1

Cách giải

Thực hiện phép chia $4n^{3}-4n^{2}-n+4$ cho 2n+1 ta được:

$4n^{3}-4n^{2}-n+4=(2n+1)(n^{2}+1)+3$

Từ đó suy ra, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n+1, tức là cần tìm giá trị nguyên của n để 2n+1 là ước của 3, ta được:

$2n+1=3Leftrightarrow n=1$

$2n+1=1Leftrightarrow n=0$

$2n+1=-3Leftrightarrow n=-2$

$2n+1=-1Leftrightarrow n=-1$

Vây n = 1;n = 0; n = 2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ứng dụng định lý Bezout khi giải

Ngoài ra còn có các dạng toán liên quan như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

IV. Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

A. Tự luận

Bài 1: Tính nhanh:

1. $(4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y)$

2. $(27x^{3}-1) : (3x-1)$

3. $(8x^{3}+1) : (4x^{2}-2x+1)$

4. $(x^{2}- 3x + xy -3y) : (x + y)$

Giải

1. $(4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y) = [(2x)^{2}–(3y)^{2}] : (2x-3y)=2x+3y$

2. $(27x^{3}-1) : (3x-1) = [(3x)^{3}-1] : (3x-1) = (3x)^{2} + 3x + 1 = 9x^{2} + 3x + 1$

3. $(8x^{3}+1):(4x^{2}–2x+1)=[(2x)^{3}+1]:(4x^{2}-2x+1)$

$=(2x+1)[(2x)^{2}–2x+1]:(4x^{2}–2x+1)$

$=( 2x+1)(4x^{2}–2x+1):(4x^{2}–2x+1)=2x+1$

4. $(x^{2}-3x + xy -3y) : (x + y) = [(x^{2}+ xy)-(3x+3y)] : (x + y)$

$= [x(x + y)-3(x + y)] : (x + y)$

$= (x + y) (x-3) : (x + y) = x-3$

Bài 2: Thực hiện phép chia:

a) $left(-3 x^{3}+5 x^{2}-9 x+15right):(-3 x+5)$

b) $left(5 x^{4}+9 x^{3}-2 x^{2}-4 x-8right):(x-1)$

c) $left(5 x^{3}+14 x^{2}+12 x+8right):(x+2);$

d) $left(x^{4}-2 x^{3}+2 x-1right):left(x^{2}-1right).$

Bài 3: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:

a) $left(x^{8}-2 x^{4} y^{4}+y^{8}right):left(x^{2}+y^{2}right)$

b) $left(64 x^{3}+27right):left(16 x^{2}-12 x+9right)$

c) $left(x^{3}-9 x^{2}+27 x-27right):left(x^{2}-6 x+9right)$

d) $left(x^{3} y^{6} z^{9}-1right):left(x y^{2} z^{3}-1right).$

Bài 4: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi làm phép chia:

a) $left(13 x+41 x^{2}+35 x^{3}-14right):(5 x-2) ;$

b) $left(16 x^{2}-22 x+15-6 x^{3}+x^{4}right):left(x^{2}-2 x+3right)$

c) $left(6 x+2 x^{3}-5-11 x^{2}right):left(-x+2 x^{2}+1right).$

Bài 5: Tìm m đề đa thức $3 x^{3}+2 x^{2}-7 x+m$ chia hết cho đa thức 3x-1

Bài 6 Tìm số dư trong phép chia đa thức $f(y)=y^{243}+y^{81}+y^{27}+y^{9}+y^{3}+y$ cho đa thức
$g(y)=y^{2}-1$

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a, ${x^3} - 4{x^2} + x + 6$

b, ${x^3} - 5{x^2} - 2x + 24$

c, $2{x^4} - {x^3} - 17{x^2} + x + 15$

d, $3{x^4} + 5{x^3} - 5{x^2} - 5x + 2$

Bài 8: Thực hiện phép chia đa thức:

a, ${x^5} + 6{x^4} + 3{x^2} - 2x - 10$ cho $x + 8$

b, $2{x^7} - 8{x^5} + 3{x^3} - 9{x^2} - 10x + 1$ cho $x - 5$

c, ${x^4} + 12{x^2} - 25$ cho $2x + 5$

d, ${x^5} - 7{x^4} + 8{x^3} - 4{x^2} - 10x + 13$ cho $x + 1$

Bài 9: Giải các phương trình sau:

a, $2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0$

b, $left( {x + 2} right)left( {x - 3} right)left( {x + 4} right)left( {x - 6} right) + 6{x^2} = 0$

c, $left( {{x^2} + x + 2} right)left( {{x^2} + x + 3} right) = 6$

d, $2{x^4} - 21{x^3} + 34{x^2} + 105x + 50 = 0$

B. Trắc nghiệm

Bài 1: Kết quả của phép chia ( 7x³ – 7x + 42 ):( x² – 2x + 3 ) là ?

A. – 7x + 14
B. 7x + 14
C. 7x – 14
D. – 7x – 14

Bài 2: Phép chia x³ + x² – 4x + 7 cho x² – 2x + 5 được đa thức dư là ?

Tham khảo thêm: Địa lí 9 Bài 37: Thực hành Vẽ và phân tích biểu đồ về tình hình sản xuất của ngành thủy sản ở Đồng bằng sông Cửu Long Soạn Địa 9 trang 134

A. 3x – 7.
B. – 3x – 8.
C. – 15x + 7.
D. – 3x – 7.

Bài 3: Hệ số a thỏa mãn để 4x² – 6x + a chia hết có x – 3 là ?

A. a = – 18.
B. a = 8.
C. a = 18.
D. a = – 8.

Bài 4: Thực hiện phép chia: (4x⁴ + x + 2x³ – 3x²) : (x² + 1) ta được số dư là :

A. – x + 7
B. 4x² + 2x – 7
C. 4x² – 2x + 7
D. x – 7

Bài 5: Thực hiện phép chia (3x³ + 2x + 1 ) : (x + 2) ta được đa thức dư là :

A. 10
B. -9
C. – 15
D. – 27

Bài 6: Thực hiện phép chia (-4x⁴ + 5x² + x ) : (x² + x) ta được kết quả là:

A. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² – 4x + 9) – 6x
B. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(4x² + 4x + 9) + 12x
C. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² + 4x + 9) – 8x
D. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x). ( 4x² – 4x + 9) + 10x

Hiển thị đáp án

Bài 7: Cho phép chia: (x³ + 9x² + 27x + 27) : (x + 3). Tìm khẳng định sai?

A. Đây là phép chia hết
B. Thương của phép chia là: (x + 3)²C. Thương của phép chia là: x² + 6x + 9
D. Số dư của phép chia là: x – 3 .

Bài 8: Thực hiện phép chia: (x²y + 4xy + 3y ) : (x + 1) ta được thuơng là:

A. xy + 3
B. x + 3y
C. x + y + 3
D. y. (x + 3)

Bài 9: Tìm a để phép chia (x³ – 4x + a): (x – 2) là phép chia hết:

A. a = 0
B. a = 4
C. a = -8
D. a = 8

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã sắp xếp lớp 8 của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã sắp xếp lớp 8

I. Lý thuyết chia đa thức cho đa thức

II. Ví dụ chia đa thức cho đa thức

III. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

IV. Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

About The Author

Wikihoc.com

Để lại một bình luận Hủy

I. Lý thuyết chia đa thức cho đa thức

II. Ví dụ chia đa thức cho đa thức

III. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

IV. Bài tập chia đa thức cho đa thức lớp 8

About The Author

Wikihoc.com

Related Articles

Tiểu sử của Huấn luyện viên Sir Alex Ferguson

Để lại một bình luận Hủy