Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn Ôn tập Toán 9

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn như thế nào? Mời các bạn cùng Wikihoc.com theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Trong bài viết hôm nay Wikihoc.com sẽ giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về cách chứng minh nhiều điểm thuộc cùng một đường tròn kèm theo ví dụ minh họa. Thông qua tài liệu này sẽ giúp các bạn học sinh lớp 9 có thêm nhiều tư liệu ôn tập, củng cố kiến thức làm quen với các dạng bài tập Toán. Bên cạnh đó các bạn xem thêm: cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, công thức tính chu vi hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông.

I. Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Cách 1: Chứng minh các điểm cùng cách đều một điểm O một khoảng bằng R. Khi đó các điểm đó sẽ thuộc đường tròn tâm O, bán kính R.

Cách 2: Sử dụng cung chứa góc: Chứng minh các điểm liên tiếp cùng nhìn một đoạn AB cố định dưới một góc α bằng nhau. Hay chính là các điểm đó cùng thuộc một cung chứa góc α dựng trên đoạn AB, nên các điểm đó cùng thuộc một đường tròn chứa cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

II. Tính chất đối xứng của đường tròn

a) Tâm đối xứng

Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

b) Trục đối xứng

Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

III. Ví dụ minh họa chứng minh các điểm nằm trên đường tròn

Ví dụ 1: Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60^o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

là góc ở tâm chắn cung BC

là góc nội tiếp chắn cung BC

⇒ = 2 = 2.60⁰ = 120⁰ (1)

+ Tứ giác AC’HB’ có:

= 360⁰

Mà = 60^{0 ,} = = 90^o ( BB’, CC’ là các đường cao)

=   360⁰– (60⁰ +90⁰ + 90⁰) = 120⁰

= = 120^{0 (2)}

+ Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Suy ra BI, CI lần lượt là các tia phân giác của

=

Xét tam giác IBC, ta có:

180⁰– 60⁰ = 120⁰ (3)

Từ (1), (2) và (3)

120⁰

Do đó, H, I và O cùng nhìn BC cố định dưới một góc 120^o.

Suy ra, H, I và O thuộc cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn BC.

⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120^o dựng trên đoạn BC.

Ví dụ 2 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E ( E nằm giữa A và D). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.

a. Chứng minh IF ⊥ AB tại J

b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải

a. Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB

= 90⁰= 90⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB

Mà BE giao AD tại I

⇒ I là trực tâm của tam giác AFB

⇒ IF là đường cao của tam giác AFB

⇒ IF ⊥ AB tại J (đpcm)

b. ΔPJR vuông tại J (IJ ⊥ AB) ⇒ =   90⁰⇒ J nằm trên đường tròn đường kính PR (*)

P, Q là trung điểm của AB và BF ⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF

⇒ PQ // BF

Mà AD BF

⇒ AD ⊥ PQ

R, Q là trung điểm IF và BF ⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA

⇒ RQ // AD

Mà AD ⊥ PQ

⇒ RQ ⊥ PQ

⇒ = 90⁰

⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR (**)

Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.