Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki

Bạn đang xem bài viết ✅ Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những dạng toán rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.

Trong bài viết dưới đây Wikihoc.com giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về bất đẳng thức Bunhiacopxki như: định nghĩa, công thức, hệ quả và một số bài tập ứng dụng. Thông qua tài liệu này giúp các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để giải nhanh các bài toán lớp 9. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm Bất đẳng thức Cosi. Mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

1. Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

Tham khảo thêm:  

+ Bất đẳng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.

2. Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi frac{a}{c} = frac{b}{d}

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} right) và left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} right) ta có:

left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} right)left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} right) ge {left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} right)^2}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

3. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Có left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}

begin{array}{l} Leftrightarrow left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge {left( {ac + bd} right)^2}\ Leftrightarrow {left( {ac} right)^2} + {left( {ad} right)^2} + {left( {bc} right)^2} + {left( {bd} right)^2} ge {left( {ac} right)^2} + 2abcd + {left( {bd} right)^2}\ Leftrightarrow {left( {ad} right)^2} + {left( {bc} right)^2} ge 2abcd\ Leftrightarrow {left( {ad} right)^2} - 2abcd + {left( {bc} right)^2} ge 0 end{array}

Leftrightarrow {left( {ad - bc} right)^2} ge 0(luôn đúng)

4. Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

left( {{a^2} + {b^2}} right)left( {{c^2} + {d^2}} right) ge 4abcd

5.

6. Bài tập tự luyện bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a, A = sqrt {6 - x} + sqrt {x + 2}

b, B = sqrt x + sqrt {2 - x}

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + frac{b}{{sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + frac{c}{{sqrt {{c^2} + {a^2}} }} le frac{3}{{sqrt 2 }}

(gợi ý: biến đổi vế trái thành sqrt {frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} + sqrt {frac{{{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} + sqrt {frac{{{c^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}} rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, . Chứng minh rằng:

sqrt {a - 1} + sqrt {b - 1} + sqrt {c - 1} le sqrt {cleft( {ab + 1} right)}

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh:

frac{1}{{{a^3}left( {b + c} right)}} + frac{1}{{{b^3}left( {c + a} right)}} + frac{1}{{{c^3}left( {a + b} right)}} ge frac{3}{2}

Bài 5: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 +sqrt{5}

6. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt 6

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

1.sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}}

le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {frac{{a + b}}{{a + b + c}} + frac{{b + c}}{{a + b + c}} + frac{{c + a}}{{a + b + c}}} right)}

Leftrightarrow sqrt {frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + sqrt {frac{{c + a}}{{a + b + c}}} le sqrt {3.2} = sqrt 6 (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}

Tham khảo thêm:   Top 6 quán ốc ngon Gò Vấp khó mà cưỡng lại được

Lời giải:

A = sqrt {x - 2} + sqrt {4 - x}

Điều kiện: 2 le x le 4

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

{left[ {1.sqrt {x - 2} + 1.sqrt {4 - x} } right]^2} le left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {x - 2 + 4 - x} right) = {2^2} = 4

begin{array}{l} Rightarrow {A^2} le 4\ Leftrightarrow - 2 le A le 2 end{array}

A max = 2 khi frac{1}{{sqrt {x - 2} }} = frac{1}{{sqrt {4 - x} }} Leftrightarrow x - 2 = 4 - x Leftrightarrow x = 3(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3p}

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

1.sqrt {p - a} + 1.sqrt {p - b} + 1.sqrt {p - c} le sqrt {left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} right)left( {p - a + p - b + p - c} right)}

Leftrightarrow sqrt {p - a} + sqrt {p - b} + sqrt {p - c} le sqrt {3left( {3p - 2p} right)} = sqrt {3p}(điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi frac{1}{{p - a}} = frac{1}{{p - b}} = frac{1}{{p - c}} Leftrightarrow a = b = c hay tam giác là tam giác đều

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *