Tìm m để bất phương trình có nghiệm Ôn tập Toán 10

Bạn đang xem bài viết ✅ Tìm m để bất phương trình có nghiệm Ôn tập Toán 10 ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Tìm m để bất phương trình có nghiệm là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 10 tham khảo. Tìm m để bất phương trình có nghiệm sẽ được học trong chương trình Toán 10 học kì 2 áp dụng đối với cả 3 bộ sách giáo khoa.

Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm được biên soạn rất chi tiết cụ thể lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo 9 bài tập có đáp án giải chi tiết và 18 bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp các bạn học sinh lớp 10 củng cố kiến thức cơ bản biết vận dụng vào giải các bài toán tìm m để bất phương trình có nghiệm. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu tìm m để phương trình vô nghiệm, công thức tính độ dài trung tuyến.

1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

  • f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ mathbb{R} . Nghĩa là Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \ {Delta leqslant 0} end{array}} right.
  • f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ mathbb{R}. Nghĩa là Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \ {Delta leqslant 0} end{array}} right.
  • f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ mathbb{R}. Nghĩa là Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \ {Delta < 0} end{array}} right.
  • f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ mathbb{R}. Nghĩa là Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \ {Delta < 0} end{array}} right.

2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m – 1)x2 + 2mx – 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc mathbb{R}.

Hướng dẫn giải

Đặt (m – 1)x2 + 2mx – 3 = f(x)

TH1: m – 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x – 3 > 0⇒ x > frac{3}{2} (Loại)

TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \ {Delta < 0} end{array}} right.

Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \ {4{m^2} + 12m - 12 < 0} end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \ {m in left( {dfrac{{ - 3 - sqrt {21} }}{2};dfrac{{ - 3 + sqrt {21} }}{2}} right)} end{array} Leftrightarrow m in emptyset } right.} right.

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc mathbb{R}.

Tham khảo thêm:  

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc mathbb{R}.

a. (m – 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0

b. (m – 1)x2 + (m – 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m – 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m – 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \ {Delta < 0} end{array}} right.

Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} \ {{m^2} - 6m + 25 < 0} end{array}} right.

Ta có: m2 – 6m + 25 = (m – 3)2 + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc mathbb{R}

b. Đặt (m – 1)x2 + (m – 3)x + 4 = f(x)

TH1: m – 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \ {Delta < 0} end{array}} right.

Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \ {{m^2} - 6m + 25 < 0} end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \ {m in left( {11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right)} end{array}} right.} right. Leftrightarrow m in left( {11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right)

Vậy m in left( {11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right) thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc mathbb{R}.

3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 – 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 – 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn {{x}_{1}}le 1<2le {{x}_{2}} Leftrightarrow left{ begin{matrix} kf(0)le 0 \ kf(1)le 0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{m}^{2}}+2mle 0 \ {{m}^{2}}-1le 0 \ end{matrix}Leftrightarrow -1le mle 0 right.

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 – 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0Leftrightarrow left| m right|>sqrt{2}Leftrightarrowleft{begin{matrix} m>sqrt{2} \ -2 < m <-sqrt{2} end{matrix}right.

Vậy với |m| < sqrt{2} thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m2x – mx < 4 ⇔ (m2 – m)x < 1; m2 – m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m2 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành x<frac{1}{m^{2}-m} luôn có nghiệm là x<frac{1}{m^{2}-m}

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m – 1)x – 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:left{ begin{matrix}f(-1)le 0 \f(1)le 0 \end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3le 0 \{{m}^{2}}+2m-5le 0 \end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix}-1le mle 3 \-sqrt{6}le mle sqrt{6}-1 \end{matrix} right. right.

⇔ -1 ≤ m ≤ sqrt 6 – 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; sqrt{6} – 1)

Tham khảo thêm:   Cách cài Pokemon GO cho iOS thành công 100%

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x2 – 2mx + 2m – 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = – 4 thì bất phương trình trở thành: 8x – 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với mne -4 Rightarrow f(x) < 0,forall x Leftrightarrow left{ begin{matrix} a<0 \ Delta '< 0 \ end{matrix}right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<-4 \ {{m}^{2}}-(m+4)(2m-6)<0 \ end{matrix}right.

Rightarrowleft{ begin{matrix} m<-4 \ min (-infty ,-4)cup (6,+infty ) \ end{matrix}left{ begin{matrix} m<-4 \ min (-infty ,-4)cup (6,+infty ) \ end{matrix}right. right.Leftrightarrow m<-4

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 6: Cho bất phương trình: x2 + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Hướng dẫn giải

a. Bất phương trình vô nghiệm

⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.

⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:

begin{align} & left| x-x' right|=2 \ & Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta '>0 \ left| dfrac{sqrt{Delta }}{a} right|=2 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 1-m>0 \ sqrt{1-m}=2 \ end{matrix}Leftrightarrow m=-3 right. \ end{align}

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x2, t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t2 +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ’ = m2 – m

Trường hợp 1: Δ’ ≤ 0 ⇔ m2 – m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ’ > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 < t2 ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

left{ begin{matrix} Delta '>0 \ a.f(0)ge 0 \ dfrac{S}{2}<0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{m}^{2}}-m>0 \ mge 0 \ -m<0 \ end{matrix} right.Leftrightarrow m>1

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

Bài 8: Tìm m để bất phương trình (m + 4){x^2} - 2mx + 2m - 6 < 0 có nghiệm đúng với mọi x

Hướng dẫn giải

Với m = -4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0,forall x (loại)

Với m ne - 4 thì f(x) < 0,forall x

Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \ {Delta ' < 0} end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \ {{m^2} - (m + 4)(2m - 6) < 0} end{array} Leftrightarrow } right.left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \ {m in ( - infty , - 4) cup (6, + infty )} end{array} Leftrightarrow m < - 4} right.} right.

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4

Bài 9: Tìm m để bất phương trình (m + 2){x^2} - 2mx + {m^2} + 2m leqslant 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

TH1: Với m + 2 = 0 Leftrightarrow m = - 2 ta được:

(1) Leftrightarrow 4x + 4 < 0 Leftrightarrow x < - 1

Bất phương trình vô nghiệm

TH2: Với m < - 2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

TH3: m + 2 > 0 Leftrightarrow m > - 2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt:

Leftrightarrow Delta > Leftrightarrow {m^2} - 2 > Leftrightarrow left| m right| > sqrt 2 Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m > sqrt 2 } \ { - 2 < m < - sqrt 2 } end{array}} right.

Vậy với left| m right| < sqrt 2 thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 9  Tìm m để bất phương trình {m^2}x + 3 < mx + 4 có nghiệm

Gợi ý đáp án 

Bất phương trình tương đương với:

{m^2}x - mx < 4 - 3 Leftrightarrow left( {{m^2} - m} right)x < 1

Với {m^2} - m = 0 Leftrightarrow m = { 0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Tham khảo thêm:   Tập hợp Q các số hữu tỉ Ôn tập Toán 7

Với {m^2} - m = 0 ne 0 Leftrightarrow m ne { 0;1} thì bất phương trình trở thành x < frac{1}{{{m^2} - m}} luôn có nghiệm là x < frac{1}{{{m^2} - m}}

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m

4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x2 – 2mx + 3m – 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 – 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 – 2x + 1 – m2 ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m – 1)x2 + (2 – m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m – 2)x2 + 2(m + 1)x + m – 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m2 – 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + (m – 1)x – m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m – 2)x2 + 2mx – 2 – m < 0 có nghiệm

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình f(x) = – (m2 + 2)x2 – 2mx + 1 – m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0).

Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:

a. 5x2 – x + m > 0

b. mx2 – 10x – 5 < 0

c. m(m+2)x2 – 2mx + 2 > 0

d. (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3m – 3 < 0

Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc mathbb{R}: (m – 5)x² – 2x + m + 1 > 0

Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

a. {x^2} + 2left( {m - 1} right)x + m + 4 > 0 b. {x^2} + left( {m + 1} right)x + 2m + 7 > 0
c. m{x^2} + left( {m - 1} right)x + m - 1 < 0 d. left( {m + 2} right){x^2} - 2left( {m - 1} right)x + 4 > 0

Bài 14: Cho bất phương trình: frac{{2m{x^2} + 2left( {m - 1} right)x + 7m + 9}}{{{x^2} + 1}} geqslant 1

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc mathbb{R}.

Bài 15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.

a. {x^2} - 2left( {m - 2} right)x + 2left( {{m^2} - 2x + 2} right) > 0

b. m{x^2} + left( {m - 1} right)x + m - 1 leqslant 0

c. left( {m - 1} right){x^2} - 2left( {m + 1} right) + 3left( {m - 2} right) geqslant 0

Bài 16: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² – (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.

Bài 17: Tìm m để phương trình: (m2 + m + 1)x2 + (2m – 3)x + m – 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Bài 18 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

a) (m-5) x^{2}-4 m x+m-2=0

b) (m-2) x^{2}+2(2 m-3) x+5 m-6=0

c) (3-m) x^{2}-2(m+3) x+m+2=0

d) (1+m) x^{2}-2 m x+2 m=0

e) (m-2) x^{2}-4 m x+2 m-6=0

f) left(-m^{2}+2 m-3right) x^{2}+2(2-3 m) x-3=0

Bài 18. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :

a) 3 x^{2}+2(m-1) x+m+4>0

b) x^{2}+(m+1) x+2 m+7>0

c) 2 x^{2}+(m-2) x-m+4>0

d) m x^{2}+(m-1) x+m-1<0

e) (m-1) x^{2}-2(m+1) x+3(m-2)>0

f) left|3(m+6) x^{2}-3(m+3) x+2 m-3right|>3

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Tìm m để bất phương trình có nghiệm Ôn tập Toán 10 của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *