Tổng hai lập phương: Công thức và bài tập Hằng đẳng thức số 6

Bài 1: Rút gọn biểu thức

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

b) (x + 4)(x² – x + 7) – (x³ + 3x² + 3x + 1³) – 26

c) (a – b + 1)[a² + b² + ab – (a + 2b) + 1] – (a³ + 1)

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a) (4x – 2)³ + 8

b) a⁶ – b⁶

c) (a + b)³ + (a – b)³

Bài 3: Cho x, y, a và b thỏa mãn các đẳng thức sau: x + y = a + b (1) và x² + y² = a² + b² (2)

Chứng minh rằng : x³ + y³ = a³ + b³

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì ta có đẳng thức a ³ + b ³ + c ³ = 3abc

Bài 5: Cho các biến x, y thỏa mãn x+y =1. Hãy tính giá trị biểu thức sau: B = x³ + y³ + 3xy

4. Đáp án bài tập tổng hai lập phương

Bài 1 

a) (x + 3)(x ² – 3x + 9) – (54 + x ³ )

= (x+3)(x ² – 3x + 3 ² ) – (54 + x ³ )

= (x ³ + 3 ³ ) – (54 + x ³ )

= 3 ³ – 54

= 27 – 54 = -27

b) (x + 4)(x² – x + 7) – (x³ + 3x² + 3x + 1³) – 26

= ((x +1 ) + 3)[(x + 1)² – 3(x + 1) + 3² ] – (x +1)³ – 26

= [(x + 1)³ + 3³] – (x +1)³ – 26

= 3³ – 26 = 27 – 26

=1

c) (a – b + 1)[a² + b² + ab – (a + 2b) + 1] – (a³ + 1)

= [a+(1 – b)][a² – a(1 – b) + (1 – b)² ] – (a³ + 1)

= [a³ + (1 – b)³] – (a³ + 1)

= (1 – b)³ – 1

Bài 2 

a) (4x – 2)³ + 8 = (4x – 2)³ + 2³

= [(4x – 2) + 2][(4x – 2)² – 2(4x – 2)+ 2²]

= 4x[(4x – 2)² – 2(4x – 2)+ 4]

= 16x[(2x – 1)² – 2x +2]

b) a⁶ – b⁶

= (a²)³ – (b²)³

= (a² – b² )(a⁴ – a²b² + b⁴)

= (a – b)(a + b)(a⁴ – a²b² + b⁴)

c) (a + b)³ + (a – b)³

= [(a + b) + (a – b)][(a + b)² – (a + b)(a – b) + (a – b)²]

= 2a[(a² + 2ab + b²) – (a² – b²) + (a² – 2ab +b²)]

= 2a( a² + 3b²)

Bài 3 

Ta có:

x + y = a + b ⇒ ( x + y)² = (a + b)²

⇔ x² + 2xy + y² = a² + 2ab + b²

Mà từ (2) ta có : x² + y² = a² + b² ⇒ 2xy = 2ab ⇔ xy = ab.

Bài 4

Ta có:

a³ + b³ + c³ – 3abc

= (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ – 3abc

= (a + b)³ + c³ – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)((a + b)² – c(a + b) + c²) -3ab(a + b + c)

= (a+b+c)( a² + 2ab + b² – (ac + bc) + c² – 3ab)

= (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ac)

Vậy suy ra : a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ac)

Mà theo giả thuyết : a + b +c = 0

Do đó : a³ + b³ + c³ = 3abc (điều phải chứng minh)

* Chú ý: đẳng thức a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ac) có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng.

Bài 5

Ta có :

x³ + y³ + 3xy

= (x + y)(x² – xy + y²) + 3xy

= 1.(x² – xy + y² ) + 3xy

= x² + 2xy + y²

= (x+y) ²

= 1