Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 70 – Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống

  • Wikihoc.com
Bạn đang xem bài viết ✅ Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 70 – Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Toán 10 bài 11 Kết nối tri thức trang 70 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi phần luyện tập và 6 bài tập trong SGK bài Tích vô hướng của hai vectơ thuộc chương 4 Vectơ.

Giải Toán 10 Kết nối tri thức bài 11 trang 70 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 11 Kết nối tri thức là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Luyện tập Toán 10 Bài 11 Kết nối tri thức

Luyện tập 1

Cho tam giác đều ABC. Tính left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {BC} } right)

Tham khảo thêm:   Nghị quyết 579/2018/UBTVQH14 Biểu thuế bảo vệ môi trường mới nhất

Gợi ý đáp án

Giả sử lấy điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

=> overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC}

Ta có tam giác ABC đều

=> widehat {ABC} = widehat {ACB} = widehat {BAC} = {60^0}

=> widehat {DAC} = widehat {ACB} = {60^0} (Hai góc so le trong)

=> widehat {BAD} = {120^0}

Ta có: left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {BC} } right) = left( {overrightarrow {AD} ;overrightarrow {BC} } right) = widehat {BAD} = {120^0}

Luyện tập 2

Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} theo a, b, c.

Gợi ý đáp án 

Ta có:

overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} = left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|.cos left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)

Mà left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right) = widehat {BAC} Rightarrow cos left( {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} } right) = cos widehat {BAC}

Ta có: cos widehat {BAC} = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}

=> overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} = AB.AC.frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}

=> overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} = b.c.frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}

=> overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}

Giải Toán 10 trang 70 Kết nối tri thức Tập 1

Bài 4.21 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ overrightarrow avà overrightarrow btrong mỗi trường hợp sau:

a) overrightarrow a = ( - 3;1),;overrightarrow b = (2;6)

b) overrightarrow a = (3;1),;overrightarrow b = (2;4)

c) overrightarrow a = ( - sqrt 2 ;1),;overrightarrow b = (2; - sqrt 2 )

Gợi ý đáp án

a)

overrightarrow a .overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.6 = 0

Rightarrow overrightarrow a bot overrightarrow b hay left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {90^o}.

b)

left{ begin{array}{l}overrightarrow a .overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\|overrightarrow a |, = sqrt {{3^2} + {1^2}} = sqrt {10} ;;,|overrightarrow b |, = sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2sqrt 5 end{array} right.

begin{array}{l} Rightarrow cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{10}}{{sqrt {10} .2sqrt 5 }} = frac{{sqrt 2 }}{2}\ Rightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {45^o}end{array}

c) Dễ thấy: overrightarrow avà overrightarrow bcùng phương do frac{{ - sqrt 2 }}{2} = frac{1}{{ - sqrt 2 }}

Hơn nữa:overrightarrow b = left( {2; - sqrt 2 } right) = - sqrt 2 .left( { - sqrt 2 ;1} right) = - sqrt 2 .overrightarrow a ;; - sqrt 2 < 0

Do đó:overrightarrow a và overrightarrow bngược hướng.

Rightarrow left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = {180^o}

Bài 4.22 trang 70

Tìm điều kiện của overrightarrow u ,;overrightarrow vđể:

a) overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|

b) overrightarrow u .;overrightarrow v = - left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|

Gợi ý đáp án

a) Ta có: overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|.cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|

Rightarrow cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = 1 Leftrightarrow left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = {0^o}

Nói cách khác: overrightarrow u ,;overrightarrow v cùng hướng.

b)

Ta có: overrightarrow u .;overrightarrow v = left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|.cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) =- left| {overrightarrow u } right|.;left| {overrightarrow v } right|

Rightarrow cos left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = - 1 Leftrightarrow left( {overrightarrow u ,;overrightarrow v } right) = {180^o}

Nói cách khác: overrightarrow u ,;overrightarrow vngược hướng.

Bài 4.23 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM} theo t.

b) Tính t để widehat {AMB} = {90^o}

Gợi ý đáp án

a)

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

begin{array}{l} Rightarrow overrightarrow {AM} = (t - 1; - 2),;overrightarrow {BM} = (t + 4; - 3)\ Rightarrow overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM} = (t - 1)(t + 4) + ( - 2)( - 3)\ quad quad quad quad quad quad= {t^2} + 3t + 2. end{array}

b)

Để widehat {AMB} = {90^o} hay AM bot BM thì overrightarrow {AM} .overrightarrow {BM} = 0

begin{array}{l} Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = - 1\t = - 2end{array} right.end{array}

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thìwidehat {AMB} = {90^o}

Bài 4.24 trang 70

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

left{ begin{array}{l}overrightarrow {AB} = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\overrightarrow {BC} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\overrightarrow {AC} = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}AB = left| {overrightarrow {AB} } right| = sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3sqrt 5 \BC = left| {overrightarrow {BC} } right| = sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = 6\AC = left| {overrightarrow {CA} } right| = sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = 3sqrt 5 .end{array} right.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

Tham khảo thêm:   Kế hoạch dạy học lớp 9 sách Kết nối tri thức với cuộc sống Phân phối chương trình lớp 9 năm 2024 - 2025 (10 Môn)

cos widehat A = frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = frac{{{{left( {3sqrt 5 } right)}^2} + {{left( {3sqrt 5 } right)}^2} - {{left( 6 right)}^2}}}{{2.3sqrt 5 .3sqrt 5 }} = frac{3}{5} Rightarrow widehat A approx 53,{13^o}

cos widehat B = frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = frac{{{{left( 6 right)}^2} + {{left( {3sqrt 5 } right)}^2} - {{left( {3sqrt 5 } right)}^2}}}{{2.6.3sqrt 5 }} = frac{{sqrt 5 }}{5} Rightarrow widehat B approx 63,{435^o}

Rightarrow widehat C approx 63,{435^o}

Vậy tam giác ABC có: a = 6;b = 3sqrt 5 ;c = 3sqrt 5 ; widehat A approx 53,{13^o};widehat B = widehat C approx 63,{435^o}.

b)

Gọi H có tọa độ (x; y)

Rightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {AH} = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\overrightarrow {BH} = (x - 2;y - 4)end{array} right.

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

Rightarrow AH bot BC và BH bot AC

Rightarrow left( {overrightarrow {AH} ,overrightarrow {BC} } right) = {90^o} Leftrightarrow cos left( {overrightarrow {AH} ,overrightarrow {BC} } right) = 0 và

left( {overrightarrow {BH} ,overrightarrow {AC} } right) = {90^o} Leftrightarrow cos left( {overrightarrow {BH} ,overrightarrow {AC} } right) = 0

Do đó overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = overrightarrow 0 và overrightarrow {BH} .overrightarrow {AC} = overrightarrow 0 .

Mà: overrightarrow {BC} = (0; – 6)

Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 Leftrightarrow - 6.(y - 1) = 0 Leftrightarrow y = 1.

Và overrightarrow {AC} = (6; - 3)

begin{array}{l} Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\ Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\ Leftrightarrow 6x - 3 = 0\ Leftrightarrow x = frac{1}{2}.end{array}

Vậy H có tọa độ left( {1;frac{1}{2}} right)

Bài 4.25 trang 70

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

{S_{ABC}} = frac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}} .

Gợi ý đáp án

Đặt A = dfrac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}}

begin{array}{l} Rightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{left( {AB.AC.cos A} right)}^2}} \ Leftrightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2}left( {1 - {{cos }^2}A} right)} end{array}

Mà 1 - {cos ^2}A = {sin ^2}A

Rightarrow A = dfrac{1}{2}sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{sin }^2}A}

Leftrightarrow A = dfrac{1}{2}.AB.AC.sin A (Vì {0^o} < widehat A < {180^o} nên sin A > 0)

Do đó A = {S_{ABC}}hay {S_{ABC}} = dfrac{1}{2}sqrt {{{overrightarrow {AB} }^2}.{{overrightarrow {AC} }^2} - {{left( {overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)}^2}} . (đpcm)

Bài 4.26 trang 70

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}

Gợi ý đáp án

Ta có:

begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {overrightarrow {MA} ^2} + {overrightarrow {MB} ^2} + {overrightarrow {MC} ^2}\ = {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GA} } right)^2} + {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GB} } right)^2} + {left( {overrightarrow {MG} + overrightarrow {GC} } right)^2}\ = {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GA} + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GB} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GC} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3{overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .left( {overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} } right) + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3{overrightarrow {MG} ^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow 0 + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}end{array}

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

begin{array}{l} = 3{overrightarrow {MG} ^2} + {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2}\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}end{array} (đpcm).

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Giải SGK Toán 10 trang 70 – Tập 1 sách Kết nối tri thức với cuộc sống của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *