Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Ôn tập Toán 9

  • Wikihoc.com
Bạn đang xem bài viết ✅ Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Ôn tập Toán 9 ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách giải kèm theo một số ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1.

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

I. Kiến thức cần nhớ

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

Tham khảo thêm:   Bộ đề thi thử THPT Quốc gia 2019 trường THPT Thiệu Hóa Đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

– Với mọi A ge 0:{A^2} ge 0;sqrt A ge 0

– Bất đẳng thức Cauchy (Cô – Si): với a, b là các số dương ta có: a + b ge 2sqrt {ab}

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình bậc hai x2 + 2 (m+1) x + m2 – m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}

Lời giải:

Ta có:

∆’ = b’2 – ac = (m + 1)2 – (m2 – m + 1) = m2 – 2m + 1 – m2 + m – 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ – m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = - 2left( {m + 1} right)\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1end{array} right.

Có A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} = {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - {x_1}{x_2}

A = [-2 (m + 1)]2 – (m2 – m + 1)

A = 4 (m + 1)2 – m2 + m – 1

A = 4m2 + 8m + 4 – m2 + m – 1

A = 3m2 + 9m + 3

A = (m2 + 3m + 1)

Có {m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.frac{3}{2}.m + frac{9}{4} - frac{9}{4} + 1 = {left( {m + frac{3}{2}} right)^2} - frac{5}{4}

{left( {m + frac{3}{2}} right)^2} ge 0forall m < 0 Leftrightarrow {left( {m + frac{3}{2}} right)^2} - frac{5}{4} ge frac{{ - 5}}{4}forall m < 0

Leftrightarrow 3left[ {{{left( {m + frac{3}{2}} right)}^2} - frac{5}{4}} right] ge frac{{ - 15}}{4}forall m < 0

Dấu “=” xảy ra Leftrightarrow m + frac{3}{2} = 0 Leftrightarrow m = frac{{ - 3}}{2}left( {tm} right)

Vậy min A = frac{{ - 15}}{4} Leftrightarrow m = frac{{ - 3}}{2}

Ví dụ 2: Cho phương trình {x^2} - 2left( {m + 4} right)x + {m^2} - 8 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2} đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

Ta có Delta ' = {b^{'2}} - ac = {left( {m + 4} right)^2} - left( {{m^2} - 8} right) = {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Leftrightarrow 8m + 24 > 0 Leftrightarrow m > - 3

Vậy với m > – 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 2left( {m + 4} right)\{x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = {m^2} - 8end{array} right.

Có B = x1 + x2 – 3x1x2 = 2 (m + 4) – 3 (m2 – 8)

= - 3{m^2} + 2m + 32 = - 3left( {{m^2} + 2.frac{1}{3}.m + frac{1}{9}} right) + frac{{97}}{3} = - 3{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} + frac{{97}}{3}

{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} ge 0forall m > - 3 Leftrightarrow - 3{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} le 0forall m > - 3

Leftrightarrow - 3{left( {m + frac{1}{3}} right)^2} + frac{{97}}{3} le frac{{97}}{3}forall m > - 3

Dấu “=” xảy ra Leftrightarrow m + frac{1}{3} = 0 Leftrightarrow m = - frac{1}{3}

Vậy maxB = frac{{97}}{3} Leftrightarrow m = frac{{ - 1}}{3}

Ví dụ 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 – 2 (m + 1)x + m – 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x1 – x2|

Có ∆’ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 + m + 4 = m2 + 3m + 5

= left( {{m^2} + 2.frac{3}{2}.m + frac{9}{4}} right) + frac{{11}}{4} = {left( {m + frac{3}{2}} right)^2} + frac{{11}}{4} > 0forall m

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 2left( {m + 1} right)\{x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = m - 4end{array} right.

Tham khảo thêm:   Giáo án môn Tin học lớp 5 (Cả năm) Giáo án trọn bộ lớp 5 môn Tin học

Có M = left| {{x_1} - {x_2}} right| Rightarrow {M^2} = {left( {left| {{x_1} - {x_2}} right|} right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}

M2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = [2(m + 1)]2 – 4 (m – 4)

= 4(m2 + 2m + 1) – 4m + 16

= 4m2 + 8m + 4 – 4m + 16

= 4m2 + 4m + 20 = 4 (m2 + m + 5)

Có {m^2} + m + 5 = left( {{m^2} + 2.frac{1}{2}.m + frac{1}{4}} right) - frac{1}{4} + 5 = {left( {m + frac{1}{2}} right)^2} + frac{{19}}{4}

begin{array}{l} {left( {m + frac{1}{2}} right)^2} ge 0forall m Leftrightarrow {left( {m + frac{1}{2}} right)^2} + frac{{19}}{4} ge frac{{19}}{4}forall m\ Leftrightarrow 4left[ {{{left( {m + frac{1}{2}} right)}^2} + frac{{19}}{4}} right] ge 19forall m end{array}

M = left| {{x_1} - {x_2}} right| Rightarrow M ge sqrt {19}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m + frac{1}{2} = 0 Leftrightarrow m = frac{{ - 1}}{2}

Vậy min M = sqrt {19} Leftrightarrow m = frac{{ - 1}}{2}

III. Một số bài tập tự luyện

Bài 1: Cho phương trình x2 – 2(m + 4)x + m2 – 8 = 0 (m tham số)

a, Tìm m để biểu thức A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2} đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho phương trình x2 + mx – m – 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2} đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho phương trình x2 – 2 (m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2 có giá trị nhỏ nhất

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Ôn tập Toán 9 của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *