Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Ôn thi THPT Quốc gia 2023 môn Toán

  • Wikihoc.com
Bạn đang xem bài viết ✅ Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Ôn thi THPT Quốc gia 2023 môn Toán ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến gồm 16 trang bao gồm các kiến thức về 7 phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án kèm theo.

Cách tìm GTLN – GTNN của hàm nhiều biến được trình bày rất khoa học, logic giúp người học dễ hình dung và hiểu rõ kiến thức. Thông qua tài liệu này các bạn lớp 12 nhanh chóng nắm vững kiến thức để tìm GTLN – GTNN của hàm nhiều biến. Bên cạnh đó các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến

A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f(x)

Bước 1: Dự đoán và chứng minh f(x) geq c ; f(x) leq c

Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để f(x)=c

Tham khảo thêm:   Trắc nghiệm Lịch sử 11 Bài 12 Chân trời sáng tạo (Có đáp án) Câu hỏi trắc nghiệm Lịch sử lớp 11

2. Các phương pháp thường sử dụng

Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacopski

Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ và hệ tọa độ

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y)=x^{2}+11 y^{2}-6 x y+8 x-28 y+21

Giải.

Biến đổi biểu thức dưới dạng P(x, y)=(x-3 y+4)^{2}+2(y-1)^{2}+3 geq 3

Từ đó suy ra operatorname{Min} P(x, y)=3 Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y-1=0 \ x-3 y+4=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y=1 \ x=-1end{array}right.right.

Bài 2. Cho x, y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S=frac{x^{4}}{y^{4}}+frac{y^{4}}{x^{4}}-frac{x^{2}}{y^{2}}-frac{y^{2}}{x^{2}}+frac{x}{y}+frac{y}{x}

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số S=sin ^{2} x+sin ^{2} y+sin ^{2}(x+y)

Giải

S=sin ^{2} x+sin ^{2} y+sin ^{2}(x+y)=frac{1-cos 2 x}{2}+frac{1-cos 2 y}{2}+1-cos ^{2}(x+y)

S=2-cos (x+y) cos (x-y)-cos ^{2}(x+y)

=frac{9}{4}-left[frac{1}{4}+cos (x+y) cos (x-y)+cos ^{2}(x+y)right]

S=frac{9}{4}-left[frac{1}{2} cos (x-y)+cos (x+y)right]^{2}-frac{1}{4} sin ^{2}(x-y) leq frac{9}{4} .

Với x=y=frac{pi}{3}+k pi,(k in mathbb{Z}) thì Max S=frac{9}{4}

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ldots+x_{8}^{2}-left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+ldots+x_{6} x_{7}+x_{7} x_{8}+x_{8}right)

GIẢI

S=left(x_{1}-frac{1}{2} x_{2}right)^{2}+frac{3}{4}left(x_{2}-frac{2}{3} x_{3}right)^{2}+frac{4}{6}left(x_{3}-frac{3}{4} x_{4}right)^{2}+frac{5}{8}left(x_{4}-frac{4}{5} x_{5}right)^{2}+

+frac{6}{10}left(x_{5}-frac{5}{6} x_{6}right)^{2}+frac{7}{12}left(x_{6}-frac{6}{7} x_{7}right)^{2}+frac{8}{14}left(x_{7}-frac{7}{8} x_{8}right)^{2}+frac{9}{16}left(x_{8}-frac{8}{9}right)^{2}-frac{4}{9} geq-frac{4}{9}

Với x_{1}=frac{1}{2} x_{2} ; x_{2}=frac{2}{3} x_{3} ; ldots ; x_{6}=frac{6}{7} x_{7} ; x_{7}=frac{7}{8} x_{8} ; x_{8}=frac{8}{9}, thì Min S=-frac{4}{9}

Bài 5. Cho x, y, z in mathbb{R}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

mathrm{S}=19 x^{2}+54 y^{2}+16 z^{2}-16 x z-24 y+36 x y

Giải.

Biến đổi mathrm{S} Leftrightarrow f(x)=19 x^{2}-2(8 z-18 y) x+54 y^{2}+16 z^{2}-24 y

Ta có Delta_{x}^{prime}=g(y)=(8 z-18 y)^{2}-left(54 y^{2}+16 z^{2}-24 yright)=-702 y^{2}+168 z y-240 z^{2}

Rightarrow Delta_{y}^{prime}=(84 z)^{2}-702.240 z^{2}=-161424 z^{2} leq 0 quad forall z in mathrm{R} Rightarrow g(y) leq 0 forall y, z in mathrm{R}

Suy ra Delta_{x}^{prime} leq 0 quad forall y, z in mathrm{R} Rightarrow f(x) geq 0. Với x=y=z=0 thì operatorname{Min} S=0

Bài 6. Cho x^{2}+x y+y^{2}=3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

mathrm{S}=x^{2}-x y+y^{2}

Giải

Xét y=0 Rightarrow x^{2}=3 Rightarrow mathrm{S}=3 là 1 giá trị của hàm số.

Xét y neq 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây

u=frac{S}{3}=frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}+x y+y^{2}}=frac{(x / y)^{2}-(x / y)+1}{(x / y)^{2}+(x / y)+1}=frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+t+1}=u với t=frac{x}{y}

Leftrightarrow uleft(t^2+t+1right)=t^2-t+1Leftrightarrow(u-1)t^2+(u+1)t+(u-1)=0

+ Nếu u=1, thì t=0 Rightarrow x=0, y= pm sqrt{3} Rightarrow u=1 là 1 giá trị của hàm số

+ Nếu u neq 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số Leftrightarrow phương trình (*) có nghiệm t

Leftrightarrow Delta=(3 u-1)(3-u) geq 0 Leftrightarrow frac{1}{3} leq u neq mathbb{1} leq 3.

Vậy tập giá trị của u là left[frac{1}{3}, 3right] Rightarrow operatorname{Min} u=frac{1}{3} ; operatorname{Max} u=3

operatorname{Min} mathrm{S}=1 Leftrightarrow operatorname{Min} u=frac{1}{3} Leftrightarrow t=1 Rightarrowleft{begin{array}{l}x=y \ x^2+x y+y^2=3end{array} Leftrightarrow x=y= pm 1right.

Max S =9 Leftrightarrow operatorname{Max} u=3 Leftrightarrow t=-1 Rightarrowleft{begin{array}{l}x=-y \ x^2+x y+y^2=3end{array} Leftrightarrowleft[begin{array}{l}x=sqrt{3}, y=-sqrt{3} \ x=-sqrt{3}, y=sqrt{3}end{array}right.right.

Bài 7. Cho x, y in mathbb{R} thỏa mãn điều kiện left(x^2-y^2+1right)^2+4 x^2 y^2-left(x^2+y^2right)=0 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức mathrm{S}=x^2+y^2

Giải Biến đổi left(x^2-y^2right)^2+2left(x^2-y^2right)+1+4 x^2 y^2-left(x^2+y^2right)=0

Leftrightarrowleft(x^2+y^2right)^2-3left(x^2+y^2right)+1+4 x^2=0

Leftrightarrowleft(x^2+y^2right)^2-3left(x^2+y^2right)+1=-4 x^2

Do -4 x^2 leq 0 nền left(x^2+y^2right)^2-3left(x^2+y^2right)+1 leq 0 Leftrightarrow frac{3-sqrt{5}}{2} leq x^2+y^2 leq frac{3+sqrt{5}}{2}

Với x=0, y= pm sqrt{frac{3-sqrt{5}}{2}}, thì operatorname{Min}left(x^2+y^2right)=frac{3-sqrt{5}}{2}.

Với x=0, y= pm sqrt{frac{3+sqrt{5}}{2}}, thi operatorname{Max}left(x^2+y^2right)=frac{3+sqrt{5}}{2}

Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x+sqrt{4 x^2+2 x+1}

Tham khảo thêm:   Văn mẫu lớp 6: Hãy kể về một trải nghiệm của bản thân khi bị lạc người thân trong siêu thị Dàn ý & 2 đoạn văn mẫu lớp 6

Giải.

Gọi yo là 1 giá trị của hàm f(x)

Rightarrow tồn tại x_0 sao cho x_0

Leftrightarrow y_0-x_0=sqrt{4 x_0^2+2 x_0+1} Rightarrow y_0^2-2 y_0 x_0+x_0^2=4 x_0^2+2 x_0+1

Leftrightarrow gleft(x_0right)=3 x_0^2+2left(1+y_0right) x_0+1-y_0^2=0. Ta có g(x)=0 có nghiệm x_0

Leftrightarrow Delta^{prime}=left(1+y_0right)^2-3left(1-y_0^2right)=2left(2 y_0^2+y_0-1right)=2left(y_0+1right)left(2 y_0-1right) geq 0

Do y_0=x_0+sqrt{3 x_0^2+left(x_0+1right)^2} geq x_0+sqrt{3 x_0^2}=x_0+sqrt{3}left|x_0right| geq 0 nên

Delta^{prime} geq 0 Leftrightarrow 2 y_0-1 geq 0 Leftrightarrow y_0 geq frac{1}{2}. Với x=-frac{1}{2} thì Minf f(x)=frac{1}{2}

…………..

Mời các bạn tải File tài liệu về để xem thêm nội dung chi tiết

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Ôn thi THPT Quốc gia 2023 môn Toán của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *