Giải hệ phương trình bậc cao Cách giải phương trình bậc cao

  • Wikihoc.com
Bạn đang xem bài viết ✅ Giải hệ phương trình bậc cao Cách giải phương trình bậc cao ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Giải hệ phương trình bậc cao là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi môn Toán lớp 9.

Cách giải hệ phương trình bậc cao tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách tính kèm theo ví dụ minh họa và một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Bên cạnh đó các bạn xem thêm giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất.

I. Cách giải hệ phương trình bậc cao

Phương pháp: Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số hoặc đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình.

II. Ví dụ giải hệ phương trình bậc cao

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình left{ {begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3}{y^3} + 27 = 18{y^3}} \ {4{x^2}y + 6x = {y^2}} end{array}} right.

Hướng dẫn giải

Hệ phương trình left{ {begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3}{y^3} + 27 = 18{y^3}{text{ }}left( 1 right)} \ {4{x^2}y + 6x = {y^2}{text{ }}left( 2 right)} end{array}} right.

Với y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.

Tham khảo thêm:   Quyết định 316/2013/QĐ-UBND Phê duyệt Danh mục số hiệu đường huyện trên địa bàn tỉnh Yên Bái

Chia cả hai vế của phương trình (1) cho y3, phương trình (2) cho y2 ta được:

left{ {begin{array}{*{20}{c}} {8{x^3} + dfrac{{27}}{{{y^3}}} = 18} \ {4dfrac{{{x^2}}}{y} + 6.dfrac{x}{{{y^2}}} = 1} end{array}} right.

Đặt left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2x = a} \ {dfrac{3}{y} = b} end{array}} right. hệ phương trình trở thành left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{a^3} + {b^3} = 18} \ {{a^2}b + a{b^2} = 3} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a + b = 3} \ {ab = 1} end{array}} right.

a, b là nghiệm của hệ phương trình T2 – 3T + 1 = 0

Từ đó suy ra hệ phương trình có hai nghiệm

left( {x;y} right) = left( {frac{{3 + sqrt 5 }}{4};frac{{3 + sqrt 5 }}{6}} right) = left( {frac{{3 - sqrt 5 }}{4};frac{{3 - sqrt 5 }}{6}} right)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2xy + x - 2y + 3 = 0} \ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0} end{array}} right.

Hướng dẫn giải

left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2xy + x - 2y + 3 = 0{text{ }}left( 1 right)} \ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0{text{ }}left( 2 right)} end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} - 4xy + 2x - 4y + 6 = 0} \ {{y^2} - {x^2} + 2xy + 2x - 2 = 0} end{array}} right.

Cộng hai vế của hệ phương trình ta được:

x2 + y2 – 2xy + 4x – 4y + 4 = 0

<=> (x – y + 2)2 = 0

<=> y = x + 2

Thay vào phương trình (1) ta được: x2 + 5x + 1 = 0 => x = frac{{ - 5 pm sqrt {21} }}{2}

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm left( {x;y} right) = left( {frac{{ - 5 - sqrt {21} }}{2};frac{{ - 1 - sqrt {21} }}{2}} right) = left( {frac{{ - 5 + sqrt {21} }}{2};frac{{ - 1 + sqrt {21} }}{2}} right)

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {sqrt {3 + 2x} + sqrt {3 - 2y} = x + 4} \ {sqrt {3 + 2x} - sqrt {3 - 2y} = x} end{array}} right.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x geqslant frac{{ - 3}}{2};y leqslant frac{3}{2}

Trừ từng vế của hai phương trình của hệ ta được phương trình:

sqrt {3 - 2y} = 2 Rightarrow 3 - 2y = 4 Rightarrow y = frac{{ - 1}}{2}left( {tm} right)

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ đã cho ta được phương trình:

sqrt {3 + 2x} = x + 2 Rightarrow {left( {x + 1} right)^2} = 0 Rightarrow x = - 1left( {tm} right)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

left( {x;y} right) = left( { - 1; - frac{1}{2}} right)

Ví dụ 4 Giải các hệ phương trình sau

a) left{ begin{array}{l}frac{1}{sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+frac{1}{sqrt{1+2{{y}^{2}}}}=frac{2}{sqrt{1+2xy}}\sqrt{xleft( 1-2x right)}+sqrt{yleft( 1-2y right)}=frac{2}{9}end{array} right.

b) left{ begin{array}{l}xleft( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} right)+{{x}^{2}}=2sqrt{{{left( x-{{y}^{2}} right)}^{3}}}\76{{x}^{2}}-20{{y}^{2}}+2=sqrt[3]{4xleft( 8x+1 right)}end{array} right.

Giải
a) Điều kiện: 0le x,yle frac{1}{2}.

Đặt a=sqrt{2}x,b=sqrt{2}y;a,bin left[ 0;frac{1}{sqrt{2}} right].

Ta có: VT=frac{1}{sqrt{1+{{a}^{2}}}}+frac{1}{sqrt{1+{{b}^{2}}}}le sqrt{2left( frac{1}{1+{{a}^{2}}}+frac{1}{1+{{b}^{2}}} right)}.

Ta sử dụng bổ đề với a,b>0 và able 1 ta có bất đẳng thức:

frac{1}{1+{{a}^{2}}}+frac{1}{1+{{b}^{2}}}le frac{2}{1+ab}Leftrightarrow frac{{{left( a-b right)}^{2}}left( ab-1 right)}{left( 1+ab right)left( 1+{{a}^{2}} right)left( 1+{{b}^{2}} right)}le 0 (đúng).

Vậy VTle frac{2}{sqrt{1+ab}}=VP.

Đẳng thức xảy ra khi x=y. Thay vào (2) ta tìm được nghiệm của phương trình.

Nghiệm của hệ left( x;y right)=left( frac{9-sqrt{73}}{36};frac{9-sqrt{73}}{36} right),left( frac{9+sqrt{73}}{36};frac{9+sqrt{73}}{36} right).

b) Điều kiện: xge {{y}^{2}}ge 0.

Phương trình (1) tương đương: {{x}^{3}}+xleft( x-{{y}^{2}} right)-2sqrt{{{left( x-{{y}^{2}} right)}^{3}}}=0.

Đặt sqrt{x-{{y}^{2}}}=u phương trình (1) thành:

displaystyle {{x}^{3}}+x{{u}^{2}}-2{{u}^{3}}=0Leftrightarrow x=uLeftrightarrow {{y}^{2}}=x-{{x}^{2}}

Thay vào (2) ta được: 96{{x}^{2}}-20x+2=sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}.

Ta có 96{{x}^{2}}-20x+2=sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}=sqrt[3]{1.1.left( 32{{x}^{2}}+4x right)}le frac{32{{x}^{2}}+4x+2}{3}

Leftrightarrow 3left( 96{{x}^{2}}-20x+2 right)le 32{{x}^{2}}+4x+2Leftrightarrow {{left( 16x-2 right)}^{2}}le 0Leftrightarrow x=frac{1}{8}Rightarrow y=pm frac{sqrt{7}}{8}

Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm left( x;y right)=left( frac{1}{8};pm frac{sqrt{7}}{8} right).

III. Bài tập tự luyện giải phương trình bậc cao

Câu 1: Giải hệ phương trình left{ begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy-5x+y+2=sqrt{y-2x+1}-sqrt{3-3x}\{{x}^{2}}-y-1=sqrt{4x+y+5}-sqrt{x+2y-2}end{array} right.

Câu 2: Giải hệ phương trình left{ begin{array}{l}left| xy-2 right|=4-{{y}^{2}}(1)\{{x}^{2}}-xy+1=0(2)end{array} right.

Câu 3: Giải hệ phương trình displaystyle left{ begin{array}{l}8x-y=6\{{x}^{2}}-y=-6end{array} right.

Câu 4: Giải hệ phương trình: displaystyle left{ begin{array}{l}frac{3}{2x}-y=6\frac{1}{x}+2y=-4end{array} right.

Câu 5: Tìm displaystyle x;y thỏa mãn :

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Giải hệ phương trình bậc cao Cách giải phương trình bậc cao của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

Tham khảo thêm:   Đề thi học sinh giỏi lớp 11 THPT tỉnh Thái Nguyên năm 2011 - 2012 Môn: Toán, Vật lý, Hóa, Văn, Sinh học, Lịch sử, Địa lý - Có đáp án

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *