Bạn đang xem bài viết ✅ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác Các dạng bài tập Toán 11 ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình lớp 11 mà học sinh cần phải ghi nhớ.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác bao gồm cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác, ví dụ minh họa và một số dạng bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh có thêm nhiều tư liệu tham khảo, nhanh chóng ghi nhớ được kiến thức để biết cách giải các bài tập Toán 11. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn theo dõi tại đây.

1. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:

+ Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

Tham khảo thêm:   Soạn bài Và tôi nhớ khói - Chân trời sáng tạo 6 Ngữ văn lớp 6 trang 69 sách Chân trời sáng tạo tập 2

+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1

+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1;b2) khi đó ta có:

(a1.b1+ a2.b2 )2 ≤ ( a12+ a22 ).( b12+ b22 )

Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2

+ Giả sử hàm số y= f(x) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].

+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2

2. Ví dụ giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Ví dụ 1: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.x0=π+k2π, kϵZ .

B.x0=π/2+kπ, kϵZ .

C.x0=k2π, kϵZ .

D.x0=kπ ,kϵZ .

Trả lời.

Chọn B.

Ta có – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ – 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .

Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.

A.M= 3 ;m= 0

B. M=2 ; m=0.

C. M=2 ; m= 1.

D.M= 3 ; m= 1.

Trả lời.

Chọn C.

Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = (sin2x+ cos2x) + cos2x = 1+ cos2 x.

Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2 x+1 ≤ 2

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1

Tham khảo thêm:   Tiếng Anh lớp 3 Unit 2: Lesson 6 Unit 2 trang 37 Explore Our World (Cánh diều)

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx – 3

A.M= 1; m= – 7

B. M= 7; m= – 1

C. M= 3; m= – 4

D. M=4; m= -3

Lời giải

Chọn A

Ta có : – 1 ≤ sinx ≤ 1 nên – 4 ≤ 4sinx ≤ 4

Suy ra : – 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1

Do đó : M= 1 và m= – 7

Ví dụ 4: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .

A. [5; 9]

B.[6;10]

C. [ 8;12]

D. [10; 14]

Trả lời

Chọn C

Với mọi x ta có : – 1 ≤ cos⁡2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2

⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12

Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]

3. Bài tập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y=4sin xcos x+1

Hướng dẫn giải

Ta có: y=4sin xcos x+1=2sin 2x+1

Do -1le sin 2xle 1Rightarrow -2le 2sin 2xle 2Rightarrow -2+1le 2sin 2x+1le 2+1

Rightarrow -1le 2sin 2x+1le 3 hay -1le yle 3

  • y=3 khi và chỉ khi sin 2x=1Rightarrow x=frac{pi }{4}+kpi (kin mathbb{Z})
  • y=-1 khi và chỉ khi sin 2x=-1Rightarrow x=-frac{pi }{4}+kpi (kin mathbb{Z})

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=4-3{{sin }^{2}}x

Hướng dẫn giải

Ta có: 0le {{sin }^{2}}xle 1Rightarrow 0ge -3{{sin }^{2}}xge -3Rightarrow 4-0ge yge 4-3Rightarrow 4ge yge 1

  • y=4 khi và chỉ khi {{sin }^{2}}x=1Rightarrow {{cos }^{2}}x=0Rightarrow cos x=0Rightarrow x=frac{pi }{2}+kpi (kin mathbb{Z})
  • y=1 khi và chỉ khi {{sin }^{2}}x=0Rightarrow sin x=0Rightarrow x=kpi (kin mathbb{Z})

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 4, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=6{{cos }^{2}}x+2{{cos }^{2}}2x

Hướng dẫn giải

Ta có: y=6{{cos }^{2}}x+{{cos }^{2}}2x=6{{cos }^{2}}x+{{(2{{cos }^{2}}x-1)}^{2}}=4{{cos }^{4}}x+2{{cos }^{2}}x+1

Đặt t={{cos }^{2}}x, tin left[ 0,1 right]ta có hàm số y=4{{t}^{2}}+2t+1
Giá trị lớn nhất của hàm số là 7 khi cos x=1Rightarrow x=k2pi (kin mathbb{Z})

Tham khảo thêm:   Những thuật ngữ thường dùng trong game Võ Lâm Miễn Phí

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi cos x=0Rightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi (kin mathbb{Z})

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

a. y=3sin x+4cos x+5

b. y=sqrt{2sin x+3}

Hướng dẫn giải

a. Xét phương trình y=3sin x+4cos x+5Leftrightarrow 3sin x+4cos x+5-y=0

Rightarrow Phương trình có nghiệm

Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{4}^{2}}ge {{(5-y)}^{2}}Leftrightarrow {{y}^{2}}-10yle 0Leftrightarrow 0le yle 10

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 10, giá trị nhỏ nhất là 0

b. Ta có: -1le sin xle 1Rightarrow -2le 2sin xle 2Rightarrow -2+3le 2sin x+3le 2+3

Rightarrow 1le 2sin x+3le 5

Rightarrow 1le yle 5

  • y=5 khi và chỉ khi sin x=1Rightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi (kin mathbb{Z})
  • y=1 khi và chỉ khi sin x=0Rightarrow x=k2pi (kin mathbb{Z})

Vây giá trị lớn nhất của hàm số là 5

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác Các dạng bài tập Toán 11 của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *