Bất đẳng thức tam giác Ôn tập Toán 8

  • Wikihoc.com
Bạn đang xem bài viết ✅ Bất đẳng thức tam giác Ôn tập Toán 8 ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Bất đẳng thức tam giác là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em học sinh lớp 8 giải được các dạng bài tập liên quan đến quan hệ giữa 3 cạnh trong một tam giác. Vậy bất đẳng thức tam giác là gì, các yếu tố trong tam giác có quan hệ như thế nào? Mời các em học sinh hãy cùng Wikihoc.com theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Thông qua tài liệu bất đẳng thức tam giác giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi sắp tới. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

1. Bất đẳng thức tam giác là gì?

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác, chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu của hai cạnh còn lại .

Trong một tam giác bất kỳ, tổng độ dài hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại

Tham khảo thêm:   Lời bài hát Thanh

– Xét tam giác ABC ta có:

AB + AC > BC

AB + BC > AC

AC + BC > AB

2. Bài tập bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằngdfrac{a}{{b + c}} + dfrac{b}{{a + c}} + dfrac{c}{{a + b}} < 2

Gợi ý đáp án

Ta có dfrac{a}{{b + c}} < 1 Rightarrow dfrac{a}{{b + c}} < dfrac{{2a}}{{a + b + c}}

Tương tự ta có: dfrac{b}{{c + a}} < 1 Rightarrow dfrac{b}{{c + a}} < dfrac{{2b}}{{a + b + c}};dfrac{c}{{a + b}} < 1 Rightarrow dfrac{c}{{a + b}} < dfrac{{2c}}{{a + b + c}}

Cộng vế theo vế ta được

dfrac{a}{{b + c}} + dfrac{b}{{c + a}} + dfrac{c}{{a + b}} < dfrac{{2a}}{{a + b + c}} + dfrac{{2b}}{{a + b + c}} + dfrac{{2c}}{{a + b + c}} = dfrac{{2left( {a + b + c} right)}}{{a + b + c}} = 2

Vậy dfrac{a}{{b + c}} + dfrac{b}{{a + c}} + dfrac{c}{{a + b}} < 2

Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 < dfrac{a}{{a + b}} + dfrac{b}{{b + c}} + dfrac{c}{{c + a}} < 2

Gợi ý đáp án

Ta có : dfrac{a}{{a + b + c}} < dfrac{a}{{a + b}} < dfrac{{a + c}}{{a + b + c}}

Tương tự ta có:

dfrac{b}{{a + b + c}} < dfrac{b}{{b + c}} < dfrac{{b + a}}{{a + b + c}}

dfrac{c}{{a + b + c}} < dfrac{c}{{c + a}} < dfrac{{c + b}}{{a + b + c}}

Cộng theo vế ta được:

begin{array}{l} dfrac{a}{{a + b + c}} + dfrac{b}{{a + b + c}} + dfrac{c}{{a + b + c}} < M < dfrac{{a + b}}{{a + b + c}} + dfrac{{b + c}}{{a + b + c}} + dfrac{{c + a}}{{a + b + c}}\ Rightarrow dfrac{{a + b + c}}{{a + b + c}} < M < dfrac{{2left( {a + b + c} right)}}{{a + b + c}}\ Rightarrow 1 < M < 2 end{array}

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b,c chu vi là 2p. Chứng minh rằng: dfrac{{abc}}{8} ge left( {p - a} right)left( {p - b} right)left( {p - c} right)

Gợi ý đáp án

Ta có left( {p - a} right)left( {p - b} right)left( {p - c} right) ge 2sqrt {left( {p - a} right)left( {p - b} right)} Rightarrow c ge 2sqrt {left( {p - a} right)left( {p - b} right)}

Chứng minh tương tự ta có: a ge 2sqrt {left( {p - b} right)left( {p - c} right)}

và b ge 2sqrt {left( {p - a} right)left( {p - c} right)}

Nhân theo vế ta được: abc ge 8left( {p - a} right)left( {p - b} right)left( {p - c} right)

Ví dụ 4: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: {a^2} + {b^2} + {c^2} ge frac{1}{3}

Gợi ý đáp án

Đặtleft{ begin{array}{l} a = x + dfrac{1}{3}\ b = y + dfrac{1}{3}\ c = z + dfrac{1}{3} end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} {a^2} = {x^2} + dfrac{2}{3}x + dfrac{1}{9}\ {b^2} = {y^2} + dfrac{2}{3}y + dfrac{1}{9}\ {c^2} = {z^2} + dfrac{2}{3}z + dfrac{1}{9} end{array} right. .

Cộng theo vế ta được {a^2} + {b^2} + {c^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + frac{2}{3}left( {x + y + z} right) + dfrac{1}{3},,,left( 1 right)

Mà a + b + c = x + y + z + 1 Rightarrow x + y + z = 0. Thay vào (1) ta được {a^2} + {b^2} + {c^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + dfrac{1}{3} ge dfrac{1}{3},

(đpcm)

Ví dụ 5: Cho a, b,c > 0 thỏa mãn dfrac{1}{a} + dfrac{1}{b} + dfrac{1}{c} le a + b + c .

Tìm GTLN của T = dfrac{1}{{2 + {a^2}}} + dfrac{1}{{2 + {b^2}}} + dfrac{1}{{2 + {c^2}}}

Gợi ý đáp án

Ta có:

2T = left( {1 - dfrac{{{a^2}}}{{2 + {a^2}}}} right) + left( {1 - dfrac{{{b^2}}}{{2 + {b^2}}}} right) + left( {1 - dfrac{{{c^2}}}{{2 + {c^2}}}} right) = 3 - left( {dfrac{{{a^2}}}{{2 + {a^2}}} + dfrac{{{b^2}}}{{2 + {b^2}}} + dfrac{{{c^2}}}{{2 + {c^2}}}} right) = 3 - A

Áp dụng BĐT Cauchy – Schawzr ta có:

A ge dfrac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6}} = dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2left( {ab + bc + ca} right)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6}},,left( 1 right)

Mà abcleft( {a + b + c} right) ge ab + bc + ca Rightarrow {left( {ab + bc + ca} right)^2} ge 3abcleft( {a + b + c} right) thay vào (1) ta được A ge 1 Rightarrow 2T le 2 Rightarrow T le 1

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Bất đẳng thức tam giác Ôn tập Toán 8 của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *