Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác dưới đây là một trong những công thức quan trọng các em lớp 12 cần ghi nhớ để vận dụng tính toán nhanh nhất các bài toán liên quan đến đường tròn ngoại tiếp tam giác và cho ra kết quả chính xác.

Trong kì thi THPT Quốc gia môn Toán thì số lượng công thức cần ghi nhớ là không hề nhỏ. Đối với các bài thi trắc nghiệm, điều cần thiết là các em học sinh cần nắm kiến thức rộng và có phương pháp giải nhanh hiệu quả để có thể ghi điểm nhiều nhất. Vậy dưới đây là toàn bộ công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác mời các bạn cùng đón đọc. Bên cạnh đó các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

1. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC

Cách 1: Sử dụng công thức diện tích tam giác

Cách 2: Sử dụng định lí Sin trong tam giác

Ta có:

Cách 3: Tính chất của tam giác vuông

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

Cách 4: Sử dụng hệ tọa độ

– Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

– Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

– Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm: R = OA = OB = OC

*Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Một tam giác đều là tam giác có cả ba cạnh và ba góc bằng nhau. Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều chính bằng độ dài một cạnh của tam giác đó.

Do tam giác đều có các cạnh bằng nhau, ta có thể sử dụng công thức sau để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều:

Trong đó:

• r là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều.
• a là độ dài một cạnh của tam giác đều.

Chú ý rằng công thức này chỉ áp dụng được cho các tam giác đều. Nếu tam giác không phải tam giác đều, bạn cần sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác như đã trình bày trong câu trả lời trước đó.

2. Ví dụ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD có , BC = 2AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, M là trung điểm của HC. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM.

Gợi ý trả lời

Vẽ hình:

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC => MN ⊥ AB

Mặt khác BH ⊥ AM

=> N là trực tâm của tam giác ABM

=> AN ⊥ BM

Do => MN //= AD

Nên ADMN là hình bình hành => AN // DM

Từ đó ta có: DM ⊥ MB hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD

Ta có:

Ví dụ 2:  Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

Theo công thức Hê – rông, diện tích tam giác A B C là:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

3. Bài tập tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1; AC = 4. Gọi M là trung điểm AC.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính R₁ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R₂ của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM.

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 10. Gọi (I) là đường tròn có tâm I thuộc cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết đường tròn (I) có bán kính bằng 3 và 2IB = 3IC. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, Ab = 5cm, AC = 12cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Bài 5: Cho hình vuông ACBD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi E là giao điểm của AM và DN

a) Tính số đo góc CEN

b) Chứng minh 4 điểm A, D, E, M thuộc cùng 1 đường tròn.

c) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đi qua ba điểm B, D, E,.

Bài 6; Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.