Công thức tính thể tích khối tròn xoay Công thức thể tích khối tròn xoay

Bạn đang xem bài viết ✅ Công thức tính thể tích khối tròn xoay Công thức thể tích khối tròn xoay ✅ tại website Wikihoc.com có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Khối tròn xoay là gì? Công thức tính khối tròn xoay như thế nào? Đây là câu hỏi được rất nhiều bạn học sinh quan tâm? Vì thế hãy cùng Wikihoc.com theo dõi bài viết dưới đây.

Trong bài viết dưới đây Wikihoc.com sẽ giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về cách tính thể tích khối tròn xoay kèm theo một số ví dụ minh họa có đáp án giải chi tiết. Thông qua tài liệu này giúp các bạn học sinh có thêm nhiều tư liệu ôn tập, củng cố kiến thức làm quen với các dạng bài tập Hình học. Bên cạnh đó các bạn xem thêm công thức tính chu vi hình chữ nhật, công thức tính diện tích hình vuông.

1. Khối tròn xoay là gì?

Trong không gian, khối tròn xoay là một khối hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định.

Trong chương trình toán học phổ thông các bạn sẽ được tiếp xúc với một số khối tròn xoay như khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay, khối cầu tròn xoay,…

Tham khảo thêm:   Đầu tháng kiêng ăn gì? 10 món ăn kiêng kị mùng 1 đầu tháng

2. Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục ox

Nếu khối tròn xoay quanh trục Ox thì để tính thể tích khối tròn xoay có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Khối tròn xoay tạo bởi

  • Đường thẳng y=f(x)
  • Trục hoành mathrm{y}=0
  • x=a ; x=b

Khi đó công thức tính thể tích sẽ là:

V=pi int_{a}^{b} f^{2}(x) d x

Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi:

  • Đường thẳng y=f(x)
  • Đường thẳng y=g(x)
  • x=a ; x=b

Khi đó công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là

V=pi int_{a}^{b}left[f^{2}(x)-g^{2}(x)right] d x(g(x) leq f(x) text { với } forall x in[a ; b])

3. Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Nếu khối tròn xoay quanh trục Oy thì để tính thể tích khối tròn xoay có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Khối tròn xoay được tạo bởi:

  • Đường x=g(y)
  • Trục tung (mathrm{x}=0)
  • mathrm{y}=mathrm{c} ; mathrm{y}=mathrm{d}

Khi đó công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là:

V=pi int_{c}^{d} g^{2}(y) d y

Trường hợp 2 : Khối tròn xoay được tạo bởi:

  • Đường x=f(y)
  • Đường x=g(y)
  • mathrm{y}=mathrm{c} ; mathrm{y}=mathrm{d}

Khi đó thể tích khối tròn xoay sẽ được tính theo công thức sau:

V=pi int_{c}^{d}left[f^{2}(y)-g^{2}(y)right] d y quad(g(y) leq f(y) v text { ới } forall y in[c ; d])

4. Ví dụ tích thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 1: Cho khối tròn xoay được tạo bởi đường thẳngy=sqrt{x} ; y=x và quay quanh trục Ox, hãy tính thể tích khối tròn xoay thu được.

Giải:

Giải phương trình:sqrt{x}=x Leftrightarrow x in{0 ; 1}

Thể tích khối tròn xoay là:

V=pi int_{0}^{1} int(sqrt{x})^{2} d x-pi int_{0}^{1} int(x)^{2} d x=frac{pi}{6}(d v t t)

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi các đường y=frac{2}{y}; trục tung, mathrm{y}= 1 ; mathrm{y}=4

Giải:

Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi các đường y=frac{2}{y}; trục tung,   mathrm{y}= 1 ; mathrm{y}=4 là

V=pi int_{1}^{4}left(frac{2}{y}right)^{2} d y=int_{1}^{4} frac{4}{y^{2}} d y=-frac{4}{y} l_{1}^{4}=3(mathrm{~d} v t t)

Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi y=sqrt{x} ; y=-x+2 ; y=0quanh quanh trục Oy

Tham khảo thêm:   Đoạn văn tiếng Anh về lợi ích của việc học Tiếng Anh (Cách viết + 19 Mẫu) Viết 1 đoạn văn về lợi ích của việc học tiếng Anh bằng tiếng Anh

Giải

Ta viết lại các đường left{begin{array}{l}y geq 0 \ x=y^{2}end{array}, x=2-y, y=0right.

Khi đó thể tích khối tròn xoay được tính như sau

V=left|pi int_{0}^{1}(2-y)^{2}-left(y^{2}right)^{2} d yright|=frac{32 pi}{15}(mathrm{~d} v t t)

Ví dụ 4

Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=π (hình vẽ) quanh trục Ox.

Lời giải

Áp dụng công thức ở định lý trên ta có

V=pi int_0^pi sin ^2 x d x=frac{pi}{2} int_0^pi(1-cos 2 x) d x

=left.frac{pi}{2}left(x-frac{1}{2} sin 2 xright)right|_0 ^pi

=frac{pi}{2}left(pi-frac{1}{2} sin 2 piright)-frac{pi}{2}left(0-frac{1}{2} sin 0right)

=frac{pi^2}{2}

Ví dụ 5

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y=sqrt{A^2-x^2} và trục hoành quanh trục hoành.

Giải:

Ta thấy:

y=sqrt{A^2-x^2}<=> y^2=A^2 -x^2 <=> y^2 +x^2 = A^2

Do sqrt{A^2-x^2}ge 0 với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính R = A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R = A (hình vẽ). Do vậy ta có luôn

V=frac{4}{3}pi A^3

Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.

Ví dụ 6

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0≤x≤1) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và ln(x2+1).

Giải:

Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là:

S(x)=xln(x2^{ }+1)

Ta có thể tích cần tính là

mathrm{V}=int_0^1 mathrm{x} ln left(mathrm{x}^2+1right) mathrm{dx}

mathrm{V}=frac{1}{2} int_0^1 ln left(mathrm{x}^2+1right) mathrm{d}left(mathrm{x}^2+1right)

=left.frac{1}{2}left(mathrm{x}^2+1right) ln left(mathrm{x}^2+1right)right|_0 ^1-frac{1}{2} int_0^1left(mathrm{x}^2+1right) mathrm{d}left(ln left(mathrm{x}^2+1right)right)

=ln 2-frac{1}{2} int_0^1 2 x d x=ln 2-frac{1}{2}

Ví dụ 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.

Tham khảo thêm:  

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường x = 1 với y = x và y = 3x là các điểm C(1;1) và B(3;1). Tọa độ giao điểm của đường y = 3x với y = x là O(0;0).

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

V=pi int_0^1left|9 x^2-x^2right| d x=pi int_0^1 8 x^2 d x

Leftrightarrow V=left.pi frac{8 x^3}{3}right|_0 ^1=frac{8}{3} pi

Ví dụ 8 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2; y2 = 4x quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.

Giải:

Với xin[0;2] thì y^2=4x tương đương y=2sqrt{x}. Tọa độ giao điểm của đường mathrm{y}=2 mathrm{x}^2 với mathrm{y}^2=4 mathrm{x} là các điểm O(0;0) và A(1;2).

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

V=pi int_0^1left|4 x-4 x^4right| d x=pi int_0^1left(4 x-4 x^4right) d x

V=left.pi cdotleft(2 x^2-frac{4 x^5}{5}right)right|_0 ^1=frac{6}{5} pi

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Công thức tính thể tích khối tròn xoay Công thức thể tích khối tròn xoay của Wikihoc.com nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

 

About The Author

"Thư viện học tập tổng hợp hoàn toàn miễn phí các chương trình học từ Mầm non, Tiểu học, THCS, THPT, Đại học. cùng những thông tin thú vị bổ ích chỉ có tại wikihoc.com "

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *