Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2012 – 2013 môn Toán lớp 12 Bảng B (Có đáp án) Sở GD&ĐT Nghệ An

Câu I: (3,0 điểm)

Cho hàm số có đồ thị (C)

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB đều (với O là gốc tọa độ).

Câu II: (6,0 điểm)

1. Cho phương trình:

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thực.

2. Giải hệ phương trình:

Câu III: (6,0 điểm)

1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

2. Cho điểm I nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng AI, BI, CI, DI lần lượt cắt các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tại A’, B’, C’, D’ thỏa mãn đẳng thức . Gọi V, V₁ lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABCD và IBCD. Chứng minh rằng V = 4V₁

Câu IV: (2,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T): x² + y² – 4x – 2y = 0 và đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y = 0. Biết diện tích tam giác ABC bằng ba lần diện tích tam giác IBC (với I là tâm của đường tròn (T)) và điểm A có tung độ dương. Viết phương trình đường thẳng BC.

Câu V: (2,5 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn y² ≥ xz và z² ≥ xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Download tài liệu để xem thêm chi tiết