Bài tập Hiệu hai bình phương (Có đáp án) Hằng đẳng thức số 3

Hiệu hai bình phương là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em được học trong chương trình Toán THCS.

Hiệu hai bình phương là hằng đẳng thức đơn giản nhất, tuy nhiên lại có thể vận dụng để giải quyết các bài toán phức tạp một cách cực kì hiệu quả. Chính vì vậy trong bài học hôm nay Wikihoc.com sẽ giới thiệu đến các bạn công thức hằng đẳng thức, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án kèm theo. Hi vọng qua tài liệu này các em sẽ vận dụng kiến thức của mình để làm bài tập, rèn luyện linh hoạt cách giải các dạng đề. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

1. Hiệu hai bình phương là gì?

Với A và B là các biểu thức tùy ý ta có :

A² – B² = (A – B).(A + B)

Ví dụ :

(2x+1)(2x-1) = (2x)² -1² = 4x² -1

91² – 9² = (91 – 9)(91 + 9) = 82.100 = 8200

62.78 = (70 – 8)(70 + 8) =70² – 8² = 4900 – 64 = 4836

2. Hằng đẳng thức

Hiệu của bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.

3. Bài tập hằng đẳng thức

Bài 1: Tính nhanh

Tính nhanh

a) 101²

b) 47.53

c) 20,1.19,9

d) 9⁸.2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1)

e) 100² – 99² + 98² – 97² +……+ 2² – 1²

f) (20² + 18² + 16² +………..+ 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² +………….+ 3² +1²)

Gợi ý đáp án 

a) 101² = (101² – 1) + 1 = (101 + 1)(101 – 1) +1 = 100.102 + 1 =10201

b) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50² – 3² = 2500 – 9 =2491

c) 20,1.19,1 = (20 + 0,1)(20 – 0,1)= 20² – 0,1² =400 – 0,01 =399,99

d) 9⁸.2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1) = (9.2)⁸ – ((18⁴)² – 1) = 18⁸ – (18⁸ – 1) = 18⁸ – 18⁸ + 1 = 1

e) Đặt A = 100² – 99² + 98² – 97² +…………..+ 2² – 1²

Ta có:

A = (100² – 99²) + (98² – 97²) +…………..+ (2² – 1²)

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) + ……………. + (2 – 1)(2 + 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + ………………………………….+ 2 + 1

= 100.101 : 2

= 5050

f) Đặt B = ( 20² + 18² + 16² +…………..+ 4² + 2²) – (19² +17² + 15² +……………..+ 3² + 1²)

Ta có:

B = ( 20² + 18² + 16² +…………..+ 4² + 2²) – (19² +17² + 15² +……………..+ 3² + 1²)

= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²) + …………………+ (4² – 3²) + (2² – 1²)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 – 17)(18 + 17) + (16 – 15)(16 + 15) +…………+ (4 – 3)(4 + 3) + (2 – 1)(2 + 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 +…………………………….+ 4 + 3 + 2 + 1

= 20.21 : 2

= 210

*Mẹo nhỏ sử dụng máy tính casio để tách tích thành tổng và hiệu

Bài 2: Thực hiện phép tính:

Gợi ý đáp án

a) x² – 4y² = x² – (2y)² = (x – 2y).(x + 2y)

b) (x + y)² – (2 – y)²

Cách 1: (x + y)² – (2 – y)²

= (x + y + 2 – y).(x + y – 2 + y)

= (x + 2).(x + 2y – 2)

= x² + 2xy – 2x + 2x + 4y – 4

= x² + 2xy + 4y – 4

Cách 2: (x + y)² – (2 – y)²

= x² + 2xy + y² – (4 – 4y + y²)

= x² + 2xy + y² – 4 + 4y – y²

= x² + 2xy – 4 + 4y

Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng hiệu hai bình phương:

Gợi ý đáp án

a) (2x – 3y)(2x + 3y) = (2x)² – (3y)² = 4x² – 9y²

b) (1 + 3y)(3y – 1) = (3y)² – 1² = 9y² – 1

c) (4a – 2)(4a + 2) = (4a)² – 2² = 16a² – 4

d) (a – 3b)(a + 3b) = a² – (3b)² = a² – 9b²

Bài 4 Tính nhanh

Gợi ý đáp án

a) 45 . 55 = (50 – 5).(50 + 5) = 50² – 5² = 2500 – 25 = 2475

b) 55 . 105 = (80 – 25).(80 + 25) = 80² – 25² = 6400 – 625 = 5775